【題目】已知拋物線和軸上的定點，過拋物線焦點作一條直線交于、兩點，連接并延長，交于、兩點.

（1）求證：直線過定點；

（2）求直線與直線最大夾角為，求.

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）當直線、斜率不存在時，可直接求解；當直線、斜率存在時，設直線，，，，，不妨設，聯(lián)立方程組得，，，，結合可得直線，即可得證；

（2）當直線斜率存在時，易證，利用求出最大值即可得解.

（1）證明：由題意知拋物線焦點，

當直線斜率不存在時，直線，易得，，

則直線，，

所以點，，此時直線；

當線斜率存在時，設直線，，，，，不妨設，

則，化簡得，，

則，，

①當時，則，所以，，點，

所以直線，點，

直線，則解得點，

所以直線；

②當時，此時直線，

則，結合化簡得，

此方程有一根為，所以，所以，所以，

同理可得，

由，，可得，，

所以，

所以直線，化簡得，

可得直線過點；

綜上，直線恒過點；

（2）由（1）知，當直線斜率不存在時，；

當直線斜率存在時，，

設直線與直線的夾角為，

，當且僅當時，等號成立，

所以對于直線與直線最大夾角，.

練習冊系列答案
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓C：經(jīng)過定點，其左右集點分別為，且，過右焦且與坐標軸不垂直的直線l與橢圈交于P，Q兩點.

（1）求橢圓C的方程：

（2）若O為坐標原點，在線段上是否存在點，使得以，為鄰邊的平行四邊形是菱形？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由.

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【題目】某圓柱的高為2，底面周長為16，其三視圖如圖所示，圓柱表面上的點在正視圖上的對應點為，圓柱表面上的點在左視圖上的對應點為，則在此圓柱側面上，從到的路徑中，最短路徑的長度為（ ）

A. B. C. D. 2

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【題目】某學校為進一步規(guī)范校園管理，強化飲食安全，提出了“遠離外賣，健康飲食”的口號．當然，也需要學校食堂能提供安全豐富的菜品來滿足同學們的需求．在學期末，校學生會為了調(diào)研學生對本校食堂A部和B部的用餐滿意度，從在A部和B部都用過餐的學生中隨機抽取了200人，每人分別對其評分，滿分為100分．隨后整理評分數(shù)據(jù)，將分數(shù)分成6組：第1組，第2組，第3組，第4組，第5組，第6組，得到A部分數(shù)的頻率分布直方圖和B部分數(shù)的頻數(shù)分布表．

分數(shù)區(qū)間

頻數(shù)

7

18

21

24

70

60

定義：學生對食堂的“滿意度指數(shù)”

分數(shù)

滿意度指數(shù)

0

1

2

3

4

5

（1）求A部得分的中位數(shù)（精確到小數(shù)點后一位）；

（2）A部為進一步改善經(jīng)營，從打分在80分以下的前四組中，采用分層抽樣的方法抽取8人進行座談，再從這8人中隨機抽取3人參與“端午節(jié)包粽子”實踐活動，在第3組抽到1人的情況下，第4組抽到2人的概率；

（3）如果根據(jù)調(diào)研結果評選學生放心餐廳，應該評選A部還是B部（將頻率視為概率）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的左焦點為F，點，過M的直線與橢圓E交于A，B兩點，線段AB中點為C，設橢圓E在A，B兩點處的切線相交于點P，O為坐標原點．

（1）證明：O、C、P三點共線；

（2）已知是拋物線的弦，所在直線過該拋物線的準線與y軸的交點，是弦在兩端點處的切線的交點，小明同學猜想：在定直線上．你認為小明猜想合理嗎？若合理，請寫出所在直線方程；若不合理，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知拋物線C1：x2＝2py（p＞0），圓C2：x2+y2﹣8y+12＝0的圓心M到拋物線C1的準線的距離為，點P是拋物線C1上一點，過點P，M的直線交拋物線C1于另一點Q，且|PM|＝2|MQ|，過點P作圓C2的兩條切線，切點為A、B．

（Ⅰ）求拋物線C1的方程；

（Ⅱ）求直線PQ的方程及的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，已知直線的參數(shù)方程：（為參數(shù)），以原點為極點，軸非負半軸為極軸（取相同單位長度）建立極坐標系，圓的極坐標方程為：．

（1）將直線的參數(shù)方程化為普通方程，圓的極坐標方程化為直角坐標方程；

（2）求圓上的點到直線的距離的最小值．

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【題目】已知在平面直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.

（1）若，求曲線與直線的兩個交點之間的距離；

（2）若曲線上的點到直線距離的最大值為，求的值.

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【題目】手機運動計步已成為一種時尚，某中學統(tǒng)計了該校教職工一天行走步數(shù)（單位：百步），繪制出如下頻率分布直方圖：

（Ⅰ）求直方圖中的值，并由頻率分布直方圖估計該校教職工一天步行數(shù)的中位數(shù)；

（Ⅱ）若該校有教職工175人，試估計一天行走步數(shù)不大于130百步的人數(shù)；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下該校從行走步數(shù)大于150百步的3組教職工中用分層抽樣的方法選取6人參加遠足活動，再從6人中選取2人擔任領隊，求這兩人均來自區(qū)間的概率．

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