Question

9．已知函數(shù)f（x）=ax³+bx²的圖象經(jīng)過點A（1，3），且函數(shù)f（x）在x=-$\frac{4}{3}$處取得極值．
（1）求實數(shù)a，b的值；
（2）求函數(shù)f（x）在[-1，2]的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導數(shù)，得到關(guān)于a，b的方程組，求出a，b的值即可；
（2）求出函數(shù)的導數(shù)，解關(guān)于導函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)在閉區(qū)間上的最值即可．

解答 解：（1）f′（x）=3ax²+2bx，
由題意得$\left\{\begin{array}{l}{f（1）=a+b=3}\\{f′（-\frac{4}{3}）=3{a（-\frac{4}{3}）}^{2}+2b（-\frac{4}{3}）=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=2}\end{array}\right.$；
（2）由（1）知f（x）=x³+2x²，
∴f′（x）=x（3x+4），
令f′（x）＞0，解得：x＞0或x＜-$\frac{4}{3}$，
令f′（x）＜0，解得：-$\frac{4}{3}$＜x＜0，
故函數(shù)f（x）在[-1，0]上單調(diào)遞減，在[0，2]上單調(diào)遞增，
∵f（-1）=1，f（2）=16，
∴f（x）_min=f（0）=0，f（x）_max=f（2）=16．

點評 本題考查了切線方程問題，考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．