Question

已知f（x）=sinxcosx-，x∈[0，π]，函數(shù)g（x）=f（x）-m有兩個(gè)不相等的零點(diǎn)．
（1）求m的取值范圍；
（2）求函數(shù)g（x）的兩零點(diǎn)之和．

Answer 1

解：（1）=． 又x∈[0，π]，故．
在同一坐標(biāo)系中，作出函數(shù)y=sinu的圖象和直線y=m的圖象．如圖易知，
兩圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，m的取值范圍為∪．
又由于是單調(diào)函數(shù)，x與u是一一對(duì)應(yīng)，故上述范圍即為所求．

（2）由圖知，直線y=分函數(shù)y=sinu圖象成上下兩部分，上、下兩部分的圖象分別關(guān)于直線u=
與u=對(duì)稱，故函數(shù)g（x）的兩零點(diǎn)之和須分兩種情況討論求解，即分與．
當(dāng)時(shí)，函數(shù)y=sinu的圖象為直線y=的上面部分，它關(guān)于直線u=對(duì)稱，
于是sinu=m的兩根之和為：u₁+u₂=2×=π，從而函數(shù)g（x）的兩零點(diǎn)之和為：=；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)y=sinu的圖象為直線y=的下面部分，它關(guān)于直線u=對(duì)稱，
于是sinu=m的兩根之和為：u₁+u₂=2×=3π，從而函數(shù)g（x）的兩零點(diǎn)之和為：=．
綜上所述，函數(shù)兩零點(diǎn)之和為或．
分析：（1）化簡(jiǎn) f（x）=，在同一坐標(biāo)系中，作出函數(shù)y=sinu的圖象和直線y=m的圖象，
如圖易知，滿足條件的 m的取值范圍為∪．
（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)y=sinu的圖象關(guān)于直線u=對(duì)稱，g（x）的兩零點(diǎn)之和為：=；當(dāng)時(shí)，函數(shù)y=sinu的圖象關(guān)于直線u=對(duì)稱，
函數(shù)g（x）的兩零點(diǎn)之和為：=．
點(diǎn)評(píng)：本題考查兩角和差的正弦公式，正弦函數(shù)的單調(diào)性，對(duì)稱性，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，在同一坐標(biāo)系中，作出函數(shù)y=sinu的圖象和直線y=m的圖象，是解題的關(guān)鍵．