已知函數(shù)f(x)=x|x+m|+n,其中m,n∈R.
(Ⅰ)求證:m2+n2=0是f(x)是奇函數(shù)的充要條件;
(Ⅱ)若常數(shù)n=-4且f(x)<0對(duì)任意x∈[0,1]恒成立,求m的取值范圍.
【答案】分析:(Ⅰ)先證明充分性,即m2+n2=0⇒f(x)是奇函數(shù),再證明必要性,即f(x)是奇函數(shù)⇒m2+n2=0,可用其對(duì)稱性,由特殊值代入法進(jìn)行證明
(Ⅱ)解決不等式恒成立問題的常用方法是參變分離求最值,先討論x=0的情況,在x≠0的條件下實(shí)現(xiàn)參變分離,分別求最值即可
解答:解(I)充分性:若m2+n2=0,則m=n=0,∴f(x)=x|x|,
又有f(-x)=-x|-x|=-x|x|=-f(x),∴f(x)為奇函數(shù).
必要性:若f(x)為奇函數(shù),∵x∈R,
∴f(0)=0,即n=0,∴f(x)=x|x+m|
由f(1)=-f(-1),有|m+1|=|m-1|,∴m=0.
∴f(x)為奇函數(shù),則m=n=0,即m2+n2=0.
∴m2+n2=0是f(x)為奇函數(shù)的充要條件.
(Ⅱ)若x=0時(shí),m∈R,f(x)<0恒成立;
若x∈(0,1]時(shí),原不等式可變形為.即
∴只需對(duì)x∈(0,1],滿足
對(duì)①式在(0,1]上單調(diào)遞減.
∴m<f1(1)=3.③
對(duì)②式,設(shè),根據(jù)單調(diào)函數(shù)的定義可證明f2(x)在(0,1]上單調(diào)遞增,
∴f2(x)max=f(1).
∴m>f2(1)=-5.④
由③④知-5<m<3.
點(diǎn)評(píng):本題考查了函數(shù)奇偶性的定義,充要條件的證明,不等式恒成立問題的解法,解題時(shí)要規(guī)范解題,善于總結(jié),縝密思維,準(zhǔn)確作答
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,A>0,ω>0,|φ|<
π
2
)的部分圖象如圖所示,則f(x)的解析式是( 。
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•深圳一模)已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,設(shè)曲線y=f(x)在與x軸交點(diǎn)處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),且滿足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)設(shè)g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)設(shè)h(x)=lnf′(x),若對(duì)一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2011•上海模擬)已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當(dāng)a=1,b=2時(shí),求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對(duì)任意0<a<b恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)k、c>0,當(dāng)a=k2,b=(k+c)2時(shí),記f(x)=f1(x);當(dāng)a=(k+c)2,b=(k+2c)2時(shí),記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:上海模擬 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當(dāng)a=1,b=2時(shí),求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對(duì)任意0<a<b恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)k、c>0,當(dāng)a=k2,b=(k+c)2時(shí),記f(x)=f1(x);當(dāng)a=(k+c)2,b=(k+2c)2時(shí),記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:深圳一模 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,設(shè)曲線y=f(x)在與x軸交點(diǎn)處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),且滿足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)設(shè)g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)設(shè)h(x)=lnf′(x),若對(duì)一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

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