Question

在直角坐標平面上給定一曲線y2=2x,

(1)設(shè)點A的坐標為,求曲線上距點A最近的點P的坐標及相應(yīng)的距離|PA|.

(2)設(shè)點A的坐標為(a,0),a∈R,求曲線上的點到點A距離的最小值dmin,并寫出dmin=f(a)的函數(shù)表達式.

 

Answer 1

（1）|PA|= （2）dmin=f(a)=

【解析】(1)設(shè)M(x,y)為曲線y2=2x上任意一點,

則|MA|2=+y2=x2+x+=+,

因為x∈[0,+∞),所以當x=0時,

|MA=+=,即|MA|min=.

所以距點A最近的點P坐標為(0,0),這時|PA|=.

(2)依題意得,

d2=(x-a)2+y2=x2-2ax+a2+2x

=x2-2(a-1)x+a2

=[x-(a-1)]2+(2a-1)

因為x∈[0,+∞),

所以分a-1≥0和a-1<0兩種情況討論.

當a≥1時,=2a-1,即dmin=,

當a<1時,=[0-(a-1)]2+(2a-1)=a2,

即dmin=|a|.

這時恰好拋物線頂點(0,0)與點A(a,0)最近.

所以dmin=f(a)=