Question

對于非空實數(shù)集A，定義A^*={z|對任意x∈A，z≥x}．設非空實數(shù)集C⊆D?（-∞，1]．現(xiàn)給出以下命題：
（1）對于任意給定符合題設條件的集合C，D，必有D^*⊆C^*；
（2）對于任意給定符合題設條件的集合C，D，必有C^*∩D≠∅；
（3）對于任意給定符合題設條件的集合C，D，必有C∩D^*=∅；
（4）對于任意給定符合題設條件的集合C，D，必存在常數(shù)a，使得對任意的b∈C^*，恒有a+b∈D^*．
以上命題正確的是

 

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Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：集合,簡易邏輯

分析：由A^*={z|?x∈A，z≥x}．可知：數(shù)集A^*是數(shù)集A的所有上界組成的集合．進而可通過舉例否定②③，對于①④還需要利用集合間的關系去證明．

解答： 解：由A^*={z|?x∈A，z≥x}．可知：數(shù)集A^*是數(shù)集A的所有上界組成的集合．
（1）分別用A_max、A_min表示集合A的所有元素（數(shù)）的最大值、最小值．
由C⊆D及A^*的定義可知：C_max≤C^*_min，D_max≤D^*_min，C^*_min≤D_max，
∴C^*_min≤D^*_min，∴必有D^*⊆C^*．故（1）正確．
（2）若設C=（-∞，1）=D，滿足C⊆D，而C^*={1}，此時C^*∩D=∅，故（2）不正確．
（3）若設C=（-∞，0），D=（-∞，1），滿足C⊆D，而D^*=（0，1），此時C∩D^*=（0，1）≠∅，故（3）不正確．
（4）由（1）可知：對于C⊆D，必有D^*⊆C^*；取a=D^*_min-C^*_min，則對于任意的b∈C^*，必恒有a+b∈D^*．故（4）正確，
故答案為：（1）（4）．

點評：本題考查了新定義，理解數(shù)集A^*是數(shù)集A的所有上界組成的集合及集合間的關系是解決問題的關鍵．