Question

已知向量

a

=（cos（x-

π

6

），sin（x-

π

4

）），

b

=（cos（x-

π

6

），sin（x+

π

4

）），f（x）=2

a

•

b

-1．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-

π

12

，

π

2

]上的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)的周期性及其求法,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）利用兩個(gè)向量的數(shù)量積公式、三角恒等變換、化簡(jiǎn)f（x）的解析式為f（x）=sin（2x-

π

6

），由此可得函數(shù)的最小正周期．
（2）根據(jù)[-

π

12

，

π

2

]，利用正弦函數(shù)的定義域和值域求得函數(shù)的最值，可得函數(shù)的值域．

解答： 解：（1）∵f（x）=2

a

•

b

-1
=cos（2x-

π

3

）+2sin（x-

π

4

）sin（x+

π

4

）
=sin（2x-

π

6

），
∴函數(shù)的最小正周期為

2π

2

=π．
（2）∵x∈[-

π

12

，

π

2

]，
∴2x-

π

6

∈[-

π

3

，

5π

6

]，
∴當(dāng)2x-

π

6

=

π

2

時(shí)，函數(shù)取得最大值為1，
當(dāng)2x-

π

6

=-

π

3

時(shí)，函數(shù)取得最小值為-

3

2

．
故函數(shù)的值域?yàn)閇-

3

2

，1]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量積公式、三角恒等變換、正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．