Question

16．已知數(shù)列{a_n}的首項為15，滿足$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{{a}_{n}+2n}{{a}_{n+1}-2n}$，a_n+a_n+1≠0，且$\frac{{a}_{n}}{n}$＞λ²-3λ恒成立，則實數(shù)λ的取值范圍為（　　）

• A． -2＜λ＜3
• B． λ≤-2或λ≥3
• C． -$\frac{3}{2}$＜λ＜$\frac{9}{2}$
• D． λ≤-$\frac{3}{2}$或λ≥$\frac{9}{2}$

Answer 1

分析 把已知數(shù)列遞推式變形，可得a_n+1-a_n=2n，然后利用累加法求得數(shù)列的通項公式，代入$\frac{{a}_{n}}{n}$，求其最小值，再代入$\frac{{a}_{n}}{n}$＞λ²-3λ求得實數(shù)λ的取值范圍．

解答 解：由$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{{a}_{n}+2n}{{a}_{n+1}-2n}$，得${{a}_{n+1}}^{2}-{{a}_{n}}^{2}=2n（{a}_{n+1}+{a}_{n}）$，
∵a_n+a_n+1≠0，
∴a_n+1-a_n=2n，
則a₂-a₁=2×1，a₃-a₂=2×2，a₄-a₃=2×3，…a_n-a_n-1=2（n-1）（n≥2），
累加得：${a}_{n}-{a}_{1}=2[1+2+…+（n-1）]=2×\frac{n（n-1）}{2}$=n²-n（n≥2），
∴${a}_{n}={n}^{2}-n+15$．
驗證n=1時成立，
∴${a}_{n}={n}^{2}-n+15$．
則$\frac{{a}_{n}}{n}$=$\frac{{n}^{2}-n+15}{n}=n+\frac{15}{n}-1$，當n=4時，$（\frac{{a}_{n}}{n}）_{min}=\frac{27}{4}$，
由$\frac{{a}_{n}}{n}$＞λ²-3λ恒成立，得λ²-3λ$＜\frac{27}{4}$，
即4λ²-12λ-27＜0，解得：$-\frac{3}{2}＜λ＜\frac{9}{2}$．
∴實數(shù)λ的取值范圍為$-\frac{3}{2}＜λ＜\frac{9}{2}$．
故選：C．

點評 本題考查數(shù)列遞推式，訓練了累加法求數(shù)列的通項公式，體現(xiàn)了數(shù)學轉化思想方法，是中檔題．