【題目】已知指數(shù)函數(shù)y=g(x)滿足:g(2)=4,定義域為R的函數(shù)f(x)=是奇函數(shù).
(1)確定y=g(x)的解析式;
(2)求m,n的值;
(3)若對任意的t∈R,不等式f(t2﹣2t)+f(2t2﹣k)<0恒成立,求實數(shù)k的取值范圍.
【答案】解:(1)∵指數(shù)函數(shù)y=g(x)滿足:g(2)=4,
∴g(x)=2x;
(2)由(1)知:f(x)=是奇函數(shù).
因為f(x)是奇函數(shù),所以f(0)=0,即,∴n=1;
∴f(x)=,又由f(1)=﹣f(﹣1)知
,∴m=2;
(3)由(2)知f(x)==-+,
易知f(x)在(﹣∞,+∞)上為減函數(shù).
又因f(x)是奇函數(shù),從而不等式:
f(t2﹣2t)+f(2t2﹣k)<0等價于f(t2﹣2t)<﹣f(2t2﹣k)=f(k﹣2t2),
因f(x)為減函數(shù),由上式推得:t2﹣2t>k﹣2t2 ,
即對一切t∈R有:3t2﹣2t﹣k>0,
從而判別式△=4+12k<0,解得:k<-.
【解析】(1)根據(jù)指數(shù)函數(shù)y=g(x)滿足:g(2)=4,即可求出y=g(x)的解析式;
(2)由題意知f(0)=0,f(1)=﹣f(﹣1),解方程組即可求出m,n的值;
(3)由已知易知函數(shù)f(x)在定義域f(x)在(﹣∞,+∞)上為減函數(shù).我們可將f(t2﹣2t)+f(2t2﹣k)<0轉化為一個關于實數(shù)t的不等式組,解不等式組,即可得到實數(shù)t的取值范圍.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解奇偶性與單調性的綜合的相關知識,掌握奇函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上有相同的單調性;偶函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上有相反的單調性.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】長方體ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=2,AA1=AD=4,點E為AB中點.
(1)求證:BD1∥平面A1DE;
(2)求證:A1D⊥平面ABD1 .
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知以點C(t,) (t∈R,t≠0)為圓心的圓與x軸交于點O、A,與y軸交于點O、B,其中O為原點.
(1)求證:△AOB的面積為定值;
(2)設直線2x+y﹣4=0與圓C交于點M、N,若OM=ON,求圓C的方程.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若有極值0,求實數(shù),并確定該極值為極大值還是極小值;
(2)在(1)的條件下,當時, 恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】以下四個命題中正確的個數(shù)是( ) (1.)若x∈R,則x2+ ≥x;
(2.)若x≠kπ,k∈Z,則sinx+ ≥2;
(3.)設x,y>0,則 的最小值為8;
(4.)設x>1,則x+ 的最小值為3.
A.1
B.2
C.3
D.4
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖所示的幾何體中,四邊形ABCD是矩形,平面ABCD⊥平面ABE,已知AB=2,AE=BE= ,且當規(guī)定正視圖方向垂直平面ABCD時,該幾何體的側視圖的面積為 .若M,N分別是線段DE、CE上的動點,則AM+MN+NB的最小值為
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在幾何體P﹣ABCD中,平面ABCD⊥平面PAB,四邊形ABCD為矩形,△PAB為正三角形,若AB=2,AD=1,E,F(xiàn) 分別為AC,BP中點.
(Ⅰ)求證EF∥平面PCD;
(Ⅱ)求直線DP與平面ABCD所成角的正弦值.
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