如圖,在三棱錐中,,D為BC的中點(diǎn),PO⊥平面ABC,垂足O落在線段AD上,已知BC=8,PO=4,AO=3,OD=2
(Ⅰ)證明:AP⊥BC;
(Ⅱ)在線段AP上是否存在點(diǎn)M,使得二面角A-MC-B為直二面角?若存在,求出AM的長;若不存在,請說明理由。
本題主要考查空是點(diǎn)、線、面位置關(guān)系,二面角等基礎(chǔ)知識,空間向量的應(yīng)用,同時(shí)考查空間想象能力和運(yùn)算求解能力。滿分15分。
方法一:
(I)證明:如圖,以O(shè)為原點(diǎn),以射線OP為z軸的正半軸,
建立空間直角坐標(biāo)系O—xyz
則,
,由此可得,所以
,即
(II)解:設(shè)
設(shè)平面BMC的法向量,
平面APC的法向量
由
得
即
由即
得
由
解得,故AM=3。
綜上所述,存在點(diǎn)M符合題意,AM=3。
方法二:
(I)證明:由AB=AC,D是BC的中點(diǎn),得
又平面ABC,得
因?yàn)?sub>,所以平面PAD,
故
(II)解:如圖,在平面PAB內(nèi)作于M,連CM,
由(I)中知,得平面BMC,
又平面APC,所以平面BMC平面APC。
在
在,
在
所以
在
又
從而PM,所以AM=PA-PM=3。
綜上所述,存在點(diǎn)M符合題意,AM=3。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2013屆廣西玉林市高二下學(xué)期三月月考文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
如圖,在三棱錐中,側(cè)面與側(cè)面均為等邊三角形,,為中點(diǎn).
(Ⅰ)證明:平面;
(Ⅱ)求二面角的余弦值. (本題12分)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011-2012學(xué)年浙江省臺州市高三上學(xué)期期末理科數(shù)學(xué)試卷 題型:解答題
如圖,在三棱錐中, 兩兩垂直且相等,過的中點(diǎn)作平面∥,且分別交于,交的延長線于.
(Ⅰ)求證:平面;
(Ⅱ)若,求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011---2012學(xué)年四川省高二10月考數(shù)學(xué)試卷 題型:解答題
如圖:在三棱錐中,已知點(diǎn)、、分別為棱、、的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:∥平面;
(Ⅱ)若,,求證:平面⊥平面.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:黑龍江省2013屆高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)(理) 題型:解答題
如圖,在三棱錐中,,為中點(diǎn)。(1)求證:平面
(2)在線段上是否存在一點(diǎn),使二面角的平面角的余弦值為?若存在,確定點(diǎn)位置;若不存在,說明理由。
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