Question

（本小題滿分14分）已知圓C：，直線與圓C交于P、Q兩個(gè)不同的點(diǎn)，M為P、Q的中點(diǎn)．

（Ⅰ）已知，若，求實(shí)數(shù)的值；

（Ⅱ）求點(diǎn)M的軌跡方程；

（Ⅲ）若直線與的交點(diǎn)為N，求證：為定值．

Answer 1

（1）；

（2） ；

（3）定值為3；

【解析】

試題分析：（1）由向量的數(shù)量積為0，知兩向量是垂直的，即，因?yàn)辄c(diǎn)A在圓C上故直線過圓心C，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入到直線方程中，得到；（2）對(duì)于求軌跡方程的問題，一般來講，求哪個(gè)點(diǎn)，就設(shè)設(shè)出哪個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用題意列出關(guān)系式，本題中，設(shè) ，則，將坐標(biāo)代入，化簡(jiǎn)可得出M的軌跡方程 ；（3）聯(lián)立方程，通過韋達(dá)定理，得出M，N的坐標(biāo)，從而求出，，兩者相乘，進(jìn)行化簡(jiǎn)，得出定值是3.

試題解析：（Ⅰ）即，

因?yàn)辄c(diǎn)A在圓C上故直線過圓心C，得 3分

（Ⅱ）設(shè) ，則，即坐標(biāo)代入得：

化簡(jiǎn)得： 8分

（Ⅲ）設(shè)將代入并整理得：

則為方程(*)的兩根

∴

10分

與聯(lián)立得交點(diǎn)

12分

故：=3 (定值) 14分

考點(diǎn)：?向量的數(shù)量積?圓的性質(zhì)?韋達(dá)定理