Question

如圖，空間幾何體ABCDEF中，四邊形ABCD是菱形，直角梯形ADFE所在平面與面ABCD垂直，且AE⊥AD，EF∥AD，其中P，Q分別為棱BE，DF的中點．
（1）求證：BD⊥CE；
（2）求證：PQ∥平面ABCD．

Answer 1

分析：（1）連接AC，在菱形ABCD中，AC⊥BD，由平面ADEF⊥平面ABCD，AE⊥AD，AE?平面ADEF，知AE⊥平面ABCD，由此能夠證明BD⊥CE．
（2）取AE的中點G，連接PG，QG，在△ABE中，BP=PE，AG=GE，故PG∥BA，由PG?平面ABCD，BA?平面ABCD，知PG∥平面ABCD，由此能夠證明PQ∥平面ABCD．

解答：證明：（1）連接AC，在菱形ABCD中，AC⊥BD，
∵平面ADEF⊥平面ABCD，交線為AD，AE⊥AD，AE?平面ADEF，
∴AE⊥平面ABCD，
∵BD?平面ABCD，
∴AE⊥BD，
∵AC∩AE=A，∴BD⊥平面AEC，
∴BD⊥CE．
（2）取AE的中點G，連接PG，QG，
在△ABE中，BP=PE，AG=GE，∴PG∥BA，
∵PG?平面ABCD，BA?平面ABCD，
∴PG∥平面ABCD，
在梯形ADEF中，DQ=QF，AG=GE，
∴GQ∥AD，同理，GQ∥平面ABCD，
∵PG∩GQ=G，PG?平面PGQ，GQ?PQG，
∴平面PQG∥平面ABCD，
∵PQ?平面PQG，
∴PQ∥平面ABCD．

點評：本題考查直線與直線垂直的證明，考查直線與平面平行的證明．解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地化空間問題為平面問題．