Question

已知函數(shù)f（x）=e^x（x≤1），若f（x）的圖象的一條切線與直線x=1及x軸所圍成的三角形面積為S，則S的最大值等于（　�。�

• A、2
• B、1
• C、e
• D、

  e

  2

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，求導(dǎo)后得到切線的斜率，由點(diǎn)斜式得到切線方程，求出切線與直線x=1的交點(diǎn)及與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，代入三角形面積公式后再由導(dǎo)數(shù)求得最大值．

解答：解：設(shè)f（x）=e^x（x≤1）的圖象上任意一點(diǎn)為（x0，ex0），
∵f′(x0)=ex0，
∴過切點(diǎn)（x0，ex0）的切線方程為y-ex0=ex0(x-x0)．
聯(lián)立

x=1 y-ex0=ex0(x-x0)

，得y=(2-x0)•ex0．
取y=0，得x=x₀-1．
∴f（x）的圖象的一條切線與直線x=1及x軸所圍成的三角形面積為：
S=

1

2

(1-x0+1)(2-x0)•ex0=

1

2

(2-x0)2•ex0 （x₀≤1）．
而S′=

1

2

[-2(2-x0)ex0+(2-x0)2ex0]=

1

2

ex0x0(x0-2)．
當(dāng)x₀∈（-∞，0）時(shí)，S′＞0；
當(dāng)x₀∈（0，1）時(shí)，S′＜0．
∴當(dāng)x₀=0時(shí)，S_max=2．
故選：A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)處的切線方程，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，是中檔題．