Question

18．已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x）=f（-x），且當x∈（-∞，0）時，f（x）+xf'（x）＜0成立，若a=（2^0.1）•f（2^0.1），b=（ln2）•f（ln2），$c=（{log_2}\frac{1}{8}）•f（{log_2}\frac{1}{8}）$，則a，b，c的大小關(guān)系是（　　）

• A． a＞b＞c
• B． c＞b＞a
• C． c＜a＜b
• D． a＞c＞b

Answer 1

分析 設(shè)g（x）=xf（x），由導(dǎo)數(shù)性質(zhì)推導(dǎo)出當x∈（-∞，0）單調(diào)遞減，再根據(jù)函數(shù)的奇偶性得到x∈（0，+∞）時，函數(shù)y=g（x）單調(diào)遞減．由此能求出結(jié)果

解答 解：∵設(shè)g（x）=xf（x）
∴g′（x）=[xf（x）]'=f（x）+xf'（x），
∴當x∈（-∞，0）時，g′（x）=f（x）+xf'（x）＜0，函數(shù)y=g（x）單調(diào)遞減，
∵f（x）滿足f（x）=f（-x），
∴函數(shù)y=f（x）為偶函數(shù)，
∴函數(shù)y=g（x）為奇函數(shù)，
∴當x∈（0，+∞）時，函數(shù)y=g（x）單調(diào)遞減．
∴2^0.1＞1，0＜ln2＜1，log₂$\frac{1}{8}$=-3，
∴g（-3）=g（3），
∴g（-3）＜g（2^0.1）＜g（ln2），
∴c＜a＜b，
故選：C．

點評 本題考查三個數(shù)的大小的比較，解題時要認真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)、函數(shù)性質(zhì)的合理運用，屬于中檔題