如圖所示，在三棱錐P-ABC中，PA平面ABC，AB=BC=CA=2, M為AB的中點(diǎn)，四點(diǎn)P、A、M、C都在球O的球面上．

（1）證明：平面PAB平面PCM；

（2）證明：線段PC的中點(diǎn)為球O的球心；

（3）若球O的表面積為，求三棱錐P―ABC的體積。

（1）證明：∵AC=BC，M為AB的中點(diǎn)，

∴CM⊥AB。

∵PA⊥平面ABC，CM平面ABC，

∴PA⊥CM。

∵ABPA=A，AB平面PAB，PB平面PAB。

∴CM⊥平面PAB。

∵CM平面PCM

∴平面PAB⊥平面PCM。

（2）證明：由（1）知CM⊥平面PAB。

∵PM平面PAB，

∴CM⊥PM

∵PA⊥平面ABC，AC平面ABC，

∴PA⊥AC 

取PC的中點(diǎn)N，連接MN、AN，在Rt△PAC中，點(diǎn)N為斜邊PC的中點(diǎn)，

    ∴MN=PN=NC。 

∴PN=NC=AN=MN

∴點(diǎn)N是球O的球心，即線段PC的中點(diǎn)為球O的球心。

（注：本題答案中符號(hào)“”等價(jià)于“”）

   （3）解：依題意得

 ∴PC=5，PA

∵AB=AC=BC=3，

∴△ABC的面積

∴三棱錐P―ABC的體積為

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•廣州一模）如圖所示，在三棱錐P-ABC中，AB=BC=
6
，平面PAC⊥平面ABC，PD⊥AC于點(diǎn)D，AD=1，CD=3，PD=
3
．
（1）證明△PBC為直角三角形；
（2）求直線AP與平面PBC所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖所示，在三棱錐P-ABC中，PA⊥面ABC，∠ABC=90°．該三棱錐中有哪些直角三角形，哪些面面垂直（只寫結(jié)果，不要求證明）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖所示，在三棱錐P-ABC中，PA⊥面ABC，∠ABC=90°．
（1）判斷△PBC的形狀；
（2）證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖所示，在三棱錐P-ABC中，AB=BC=
6
，平面PAC⊥平面ABC，PD⊥AC于點(diǎn)D，點(diǎn)O為AC的中點(diǎn)，AD=1，CD=3，PD=
3
．
（1）求證：BO⊥平面PAC
（2）證明：△PBC為直角三角形；
（3）求直線AP與平面PBC所成角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖所示，在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA=1，AB⊥AC，AB=AC=2，E為AC的中點(diǎn)．
（1）求異面直線BE與PC所成角的余弦值；
（2）求二面角P-BE-C的平面角的余弦值．

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