Question

已知實數(shù)a，b滿足|a-2|=

3b+6

+

7-b

，則不等式2^|1-a|-1＞a（a-2）成立的概率為（　�。�

• A、

  1

  4

• B、

  1

  3

• C、

  2

  3

• D、

  3

  4

Answer 1

考點：幾何概型

專題：綜合題,概率與統(tǒng)計

分析：設x=

b+2

，y=

7-b

，則|a-2|=

3

x+y且x²+y²=9（x≥0，y≥0）．直線與圓（四分之一）的位置關系知3≤|a-2|≤6，
由不等式2^|1-a|＞（1-a）²得|1-a|＜2或|1-a|＞4，從而可求等式2^|1-a|-1＞a（a-2）成立的概率．

解答： 解：設x=

b+2

，y=

7-b

，則|a-2|=

3

x+y且x²+y²=9（x≥0，y≥0）．
由直線與圓（四分之一）的位置關系知3≤|a-2|≤6，解得a∈[-4，-1]∪[5，8]．
由不等式2^|1-a|＞（1-a）²得|1-a|＜2或|1-a|＞4，解得a∈（-∞，-3）∪（-1，3）∪（5，+∞）．
所以當a∈[-4，-3）∪（5，8]時不等式成立．
由幾何概型的概率公式可得P=

4

6

=

2

3

．
故選：C

點評：本題考查幾何概型，考查直線與圓的位置關系，考查學生的計算能力，有難度．