Question

（2012•河西區(qū)一模）已知平面內(nèi)點(diǎn)A(cos

x

2

，sin

x

2

)，點(diǎn)B（1，1），

OA

+

OB

=

OC

，f(x)=|

OC

|2
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）若x∈[-π，π]，求f（x）的最大和最小值，并求當(dāng)f（x）取最值時(shí)x的值．

Answer 1

分析：（1）先求出

OA

，

OB

，代入

OC

=

OA

+

OB

，根據(jù)向量的數(shù)量積的性質(zhì)即可求出f（x）=|

OC

|2，利用同角平方關(guān)系進(jìn)行化簡(jiǎn)后，根據(jù)正周期公式即可求解
（2）由已知-π≤x≤π可求

x

2

+

π

4

的范圍，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解函數(shù)的最值及相應(yīng)的x

解答：解：（1）由題意知，

OA

=（cos

x

2

，sin

x

2

），

OB

=（1，1）
則

OC

=

OA

+

OB

=（1+cos

x

2

，1+sin

x

2

）
∴f（x）=|

OC

|2=(1+cos

x

2

)2+(1+sin

x

2

)2
=3+2sin

x

2

+2cos

x

2

=3+2

2

sin(

x

2

+

π

4

)
∴f（x）的最小正周期T=

2π

1 2

=4π
（2）∵-π≤x≤π
∴-

π

4

≤

x

2

+

π

4

≤

3π

4

∴-

2

2

≤sin(

x

2

+

π

4

)≤1
∴當(dāng)x=-π時(shí)，函數(shù)f（x）有最小值1
當(dāng)x=

π

2

時(shí)，函數(shù)有最大值3+2

2

點(diǎn)評(píng)：本題 主要考查了向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示的應(yīng)用及三角函數(shù)的化簡(jiǎn)，正弦函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)的綜合應(yīng)用