Question

已知函數(shù)，其中a為常數(shù)．

（1）當(dāng)時(shí)，求的最大值；

（2）若在區(qū)間（0，e］上的最大值為，求a的值；

（3）當(dāng)時(shí)，試推斷方程=是否有實(shí)數(shù)解．

 

Answer 1

(1)=f（1）=-1；(2)a=；(3)方程|f（x）|=沒(méi)有實(shí)數(shù)解.

【解析】

試題分析：(1)當(dāng)a=-1時(shí)，f（x）=-x+lnx，f′(x)=－1+

由0<x<1時(shí)，f′(x)>0；當(dāng)x>1時(shí)，f′(x)<0.

知f（x）在（0，1）上是增函數(shù)，在（1，+∞）上是減函數(shù)，從而=f（1）=-1.

(2)利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的最大值得，=f=-1+ln

由-1+ln=-3，即得a=.

(3)由（1）知當(dāng)a=-1時(shí)=f（1）=-1，可知|f（x）|≥1；

應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究g（x）=,得到=g（e）=<1,即g(x)<1，

根據(jù)|f（x）|>g(x),即|f(x)|>知方程|f（x）|=沒(méi)有實(shí)數(shù)解.

試題解析：(1)當(dāng)a=-1時(shí)，f（x）=-x+lnx，f′(x)=－1+

當(dāng)0<x<1時(shí)，f′(x)>0；當(dāng)x>1時(shí)，f′(x)<0.

∴f（x）在（0，1）上是增函數(shù)，在（1，+∞）上是減函數(shù)，=f（1）=-14分

(2)∵f′(x)=a+，x∈(0,e］，∈

①若a≥，則f′(x)≥0，f(x)在(0,e］上增函數(shù)

∴=f（e）=ae+1≥0.不合題意 5分

②若a<，則由f′(x)>0>0，即0<x<

由f(x)<0<0，即<x≤e.從而f(x)在上增函數(shù),在為減函數(shù)

∴=f=-1+ln

令-1+ln=-3，則ln=-2∴=，即a=.

∵<,

∴a=為所求 8分

(3)由（1）知當(dāng)a=-1時(shí)=f（1）=-1，

∴|f（x）|≥1

又令g（x）=,g′（x）=,令g′(x)=0，得x=e,

當(dāng)0<x<e時(shí)，g′(x)>0,g(x)在(0,e)單調(diào)遞增；當(dāng)x>e時(shí),g′(x)<0，g(x)在(e,+∞)單調(diào)遞減∴=g（e）=<1,∴g(x)<1

∴|f（x）|>g(x),即|f(x)|>∴方程|f（x）|=沒(méi)有實(shí)數(shù)解. 12分

考點(diǎn)：應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最（極）值，轉(zhuǎn)化與化歸思想，不等式恒成立問(wèn)題，函數(shù)與方程.