Question

6．已知向量$\overrightarrow a=（{cos\frac{3x}{2}，sin\frac{3x}{2}}），\overrightarrow b=（{cos\frac{x}{2}，sin\frac{x}{2}}）$．
（1）已知$\overrightarrow a$∥$\overrightarrow b$且$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$，求x；
（2）若$f（x）=\overrightarrow a•\overrightarrow b$，寫出f（x）的單調遞減區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）由$\overrightarrow{a}∥\overrightarrow$，根據平行向量的坐標關系以及兩角差的正弦公式即可得出sinx=0，這樣根據x的范圍便可得出x的值；
（2）進行向量數量積的坐標運算，根據兩角差的余弦公式便可得出f（x）=cosx，從而可以寫出余弦函數的單調遞減區(qū)間．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow$；
∴cos$\frac{3x}{2}$sin$\frac{x}{2}$-sin$\frac{3x}{2}$cos$\frac{x}{2}$=0，即sinx=0；
∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]；
∴x=0；
（2）f（x）=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=cos$\frac{3x}{2}$cos$\frac{x}{2}$+sin$\frac{3x}{2}$sin$\frac{x}{2}$=cosx；
∴f（x）的單調遞減區(qū)間為[2kπ，2kπ+π]，k∈Z．

點評 考查平行向量的坐標關系，以及兩角和與差的正余弦公式，已知三角函數值求角，向量數量積的坐標運算，以及余弦函數的單調區(qū)間．