Question

8．如圖，在四面體A-BCD中，F(xiàn)、E、H分別是棱AB、BD、AC的中點，G為DE的中點．
（Ⅰ）證明：直線EF∥平面ACD
（Ⅱ）證明：直線HG∥平面CEF．

Answer 1

分析 本題考查空間立體幾何線面平行的判定定理．第1題利用EF為△ABD的中位線來證明EF∥平面ACD；第2題可利用三角形相似性來證明線面平行，同時也可平面證明GHN∥平面CEF，來得到直線HG∥平面CEF．

解答 （Ⅰ）證明，如右圖：
∵E、F分別為BD、BA的中點，EF為△ABD的中位線，
∴EF∥AD 且 EF=$\frac{1}{2}$AD，
∵EF?平面ACD，AD?平面ACD，
∴EF∥平面ACD；
（Ⅱ）證法一：如圖，連接BH，BH與CF交于K，連接EK．
∵F、H分別是AB、AC的中點，
∴K是△ABC的重心，
∴$\frac{BK}{BH}$=$\frac{2}{3}$．
又據題設條件知，$\frac{BE}{BG}$=$\frac{2}{3}$，
∴$\frac{BK}{BH}$=$\frac{BE}{BG}$，∴EK∥GH．
∵EK?平面CEF，GH?平面CEF，
∴直線HG∥平面CEF．

證法二如：圖，取CD的中點N，連接GN、HN．
∵G為DE的中點，∴GN∥CE．
∵CE?平面CEF，GN?平面CEF，∴GN∥平面CEF．
   連接FH，EN
∵F、E、H分別是棱AB、BD、AC的中點，
∴FH∥BC，EN∥BC，F(xiàn)H=$\frac{1}{2}BC$，EN=$\frac{1}{2}BC$∴FH∥EN，F(xiàn)H=EN
∴四邊形FHNE為平行四邊形，∴HN∥EF．
∵EF?平面CEF，HN?平面CEF，
∴HN∥平面CEF．HN∩GN=N，
∴平面GHN∥平面CEF．
∵GH?平面GHN，∴直線HG∥平面CEF．

點評 空間立體幾何線面平行的判定屬于高考常見題型．