Question

已知函數(shù)f（x）=ln（x-1）+

1

2

x2-ax，a＞0．
（I）若f（x）存在單調(diào)遞減區(qū)間，求a的取值范圍；
（Ⅱ）記f（x）在[2，+∞）的最小值為f（t），求t的值．

Answer 1

分析：（I）由函數(shù)的解析式，易求出函數(shù)的定義域和導(dǎo)函數(shù)的解析式，根據(jù)定義域和導(dǎo)函數(shù)的解析式，我們對a進(jìn)行分類討論，易得到f（x）存在單調(diào)遞減區(qū)間時(shí)，a的取值范圍；
（Ⅱ）利用導(dǎo)函數(shù)我們可以探討函數(shù)的單調(diào)性，從而得到函數(shù)在[2，+∞）的最小值為f（t），繼而得到t的取值．

解答：解：（I）f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），
f'（x）=

1

x-1

+x-a=

1

x-1

+（x-1）+1-a≥2+1-a=3-a
當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí)f′（x）取最小值3-a．
當(dāng)a＞3時(shí)，3-a＜0，
f（x）存在單調(diào)遞減區(qū)間；
當(dāng)a≤3時(shí)，3-a≥0，不存在使得f′（x）＜0的區(qū)間
綜上，a的取值范圍是（3，+∞）；
（II）f'（x）=

x2-(a+1)x+a+1

x-1

，對于分子，
△=（a+1）²=4（a+1）=（a+1）（a-3），
由（I）可知，當(dāng)0＜a≤3時(shí)，f（x）在（1，+∞）單調(diào)遞增；
當(dāng)a＞3時(shí)，△＞0，由x²-（a+1）x+a+1=0，
得x₂=

a+1- (a+1)(a-3)

2

，x2=

a+1+ (a+1)(a-3)

2

由x₁-2=

a-3- (a+1)(a-3)

2

＜0x₂-2=

a-3+ (a+1)(a-3)

2

＞0
知x₁＜2＜x₂當(dāng)x∈（2，x₂）時(shí)，f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減
當(dāng)x∈（x₂，+∞）時(shí)，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增．
綜上，當(dāng)0＜a≤3時(shí)，t=2；當(dāng)a＞3時(shí)，t=

a+1+ a2-2a-3

2

．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間和函數(shù)的最值，在探討函數(shù)的最值時(shí)我們常以導(dǎo)數(shù)作為工具，先研究函數(shù)的單調(diào)性，然后在求其最值．本題是個(gè)中檔題．