Question

已知單調(diào)遞增的等比數(shù)列{an}滿足a1+a2+a3=14，且a2+1是a1，a3的等差中項．

（1）求數(shù)列{an}的通項公式；

（2）若bn=anlog2an，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn；

（3）若存在n∈N*，使得Sn+1﹣2≤8n3λ成立，求實數(shù)λ的最小值．

 

Answer 1

（1）；（2）；（3）.

【解析】

試題分析：

解題思路：（1）設(shè)出等比數(shù)列的首項與公比，列出關(guān)于的方程組，解得即可；（2）由（1）得出，利用錯位相減法求和；（3）先進行變量分離，轉(zhuǎn)化為求關(guān)于的函數(shù)的最值問題.

規(guī)律總結(jié)：涉及等差數(shù)列或等比數(shù)列的通項問題，往往列出關(guān)于基本量的方程組，進而求出基本量，數(shù)列求和的方法主要有：倒序相加法、裂項抵消法、分組求和法、錯位相減法.

注意點：存在n∈N*，使得成立，只需，而不是最大值.

試題解析：（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為q，

∵a1+a2+a3=14，且a2+1是a1，a3的等差中項，

∴，

解得q=2，a1=2，或q=，a1=8（舍）

∴an=2n．

（2）bn=anlog2an=n•2n，

∴，①

2Sn=1×22+2×23+3×24+…+n×2n+1，②

①﹣②，得

=，

∴．

（3）由（2）知，

原問題等價于：存在n∈N*，使得成立，

令f（n）=，只需λ≥f（n）min即可，

∵f（n+1）﹣f（n）==，

∴f（n+1）﹣f（n）的正負取決于n2﹣2n﹣1=（n﹣1）2﹣2的正負，

∴f（1）＞f（2）＞f（3），f（3）＜f（4）＜…

∴f（n）min=f（3）=，即，

∴λ的最小值是．.

考點：1.數(shù)列的通項公式；2.數(shù)列的前項和.