Question

在五邊形ABCDE中（圖一），BD是AC的垂直平分線，O為垂足．ED∥AC，AE∥BD，AB⊥BC，P為AB的中點(diǎn)．沿對角線AC將四邊形ACDE折起，使平面ACDE⊥平面ABC（圖二）．     
（1）求證：PE∥平面DBC；
（2）當(dāng)AB=

2

AE時，求直線DA與平面DBC所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）證明四邊形PMDE為平行四邊形，可得EP∥DM，利用線面平行的判定定理，可得PE∥平面DBC；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)|AE|=2，則AB=2

2

，求出平面PBC的法向量，利用向量的夾角公式，即可求直線DA與平面DBC所成角的正弦值．

解答：（1）證明：設(shè)M為BC中點(diǎn)，連PM，DM  依題意，ED

∥ .

.

1

2

AC
∵P、M分別為AB、BC的中點(diǎn)，∴PM

∥ .

.

1

2

AC
∴ED

∥ .

.

PM，…（3分）
∴四邊形PMDE為平行四邊形，∴EP∥DM
又DM?平面DBC，PE?平面DBC，
∴PE∥平面DBC…（5分）
（2）解：以點(diǎn)O為原點(diǎn)，直線OA、OB、OD所在直線分別為x、y、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)|AE|=2，則A（2，0，0）、B（0，2，0）C（-2，0，0）、
D（0，0，2）、E（2，0，2）、P（1，1，0）…（6分）
∴

DA

=(2，0，-2)、

BC

=(-2，-2，0)、

DB

=(0，2，-2)…（7分）
設(shè)平面PBC的法向量為

n

=(x，y，z)，
則由

n • BC =0 n • DB =0

，得

x+y=0 y-z=0

，…（9分）
令x=1，則y=z=-1，∴

n

=(1，-1，-1)，
∴cos＜

DA

，

n

＞=

DA • n

| DA || n |

=

6

3

，
∴直線DA與平面DBC所成角的正弦值為

6

3

．…（12分）

點(diǎn)評：本題考查線面平行，考查線面角，考查向量知識的運(yùn)用，考查學(xué)生的計算能力，確定平面的法向量是關(guān)鍵．