Question

如圖，在四棱錐P―ABCD中，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，側(cè)棱PA＝PD=，底面ABCD為直角梯形，其中BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2，O為AD中點(diǎn)．

（Ⅰ）求證：PO⊥平面ABCD；

（Ⅱ）求異面直線PB與CD所成角的余弦值；

（Ⅲ）求點(diǎn)A到平面PCD的距離．

Answer 1

解法一：

（Ⅰ）證明：在△PAD中PA＝PD，O為AD中點(diǎn)，所以PO⊥AD．

又側(cè)面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO平面PAD，

所以PO⊥平面ABCD．

（Ⅱ）連結(jié)BO，在直角梯形ABCD中，BC∥AD,AD=2AB=2BC，有OD∥BC且OD＝BC，所以四邊形OBCD是平行四邊形，所以O(shè)B∥DC．

由（Ⅰ）知PO⊥OB，∠PBO為銳角，所以∠PBO是異面直線PB與CD所成的角．

因?yàn)锳D＝2AB＝2BC＝2，在Rt△AOB中，AB＝1，AO＝1，所以O(shè)B＝，

在Rt△POA中，因?yàn)锳P＝，AO＝1，所以O(shè)P＝1，

在Rt△PBO中，PB＝,

cos∠PBO=,

所以異面直線PB與CD所成的角的余弦值為．

（Ⅲ）由（Ⅱ）得CD＝OB＝，

在Rt△POC中，PC＝，

所以PC＝CD＝DP，S_△PCD=?2=．

又S_△ACD=

設(shè)點(diǎn)A到平面PCD的距離h，

由V_P-ACD=V_A-PCD，

得S_△ACD?OP＝S_△PCD?h，

即×1×1＝××h，

解得h＝．

解法二：

（Ⅰ）同解法一，

（Ⅱ）

以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz．

則A（0，-1，0），B（1，-1，0），C（1，0，0），D（0，1，0），P（0，0，1）．

所以＝（-1，1，0），＝（1，-1，-1），

cos〈,〉=，

所以異面直線PB與CD所成的角的余弦值為，

（Ⅲ）設(shè)平面PCD的法向量為n＝（x₀,y₀,z₀），

由（Ⅱ）知=（-1，0，1），＝（-1，1，0），

則     所以     即x₀=y₀=z₀,

取x₀=1，得平面的一個(gè)法向量為n=（1,1,1）．

又=（1,1,0）．

從而點(diǎn)A到平面PCD的距離d＝