Question

若直線y=kx+1與曲線y=|x+

1

x

|-|x-

1

x

|恰有四個(gè)公共點(diǎn)，則k的取值集合是

 

．

Answer 1

分析：在定義域內(nèi)討論x的取值，去掉絕對(duì)值符號(hào)，得到分段函數(shù)表達(dá)式，作出函數(shù)圖象，求出符合條件的k的取值即可．

解答：解：設(shè)t=x-

1

x

=

x2-1

x

=

(x-1)(x+1)

x

，
①若x＜-1，則t＜0，∴y=|x+

1

x

|-|x-

1

x

|=（-x-

1

x

）-（

1

x

-x）=-

2

x

；
②若-1≤x＜0，則t≥0，∴y=|x+

1

x

|-|x-

1

x

|=（-x-

1

x

）-（x-

1

x

）=-2x；
③若0＜x＜1，則t＜0，∴y=|x+

1

x

|-|x-

1

x

|=（x+

1

x

）-（

1

x

-x）=2x；
④若x≥1，則 t≥0，∴y=|x+

1

x

|-|x-

1

x

|=（x+

1

x

）-（x-

1

x

）=

2

x

．
∴y=

- 2 x ，x＜-1 -2x，-1≤x＜0 2x，0＜x＜1 2 x ，x≥1

，畫出函數(shù)圖象如圖：

∵直線y=kx+1過定點(diǎn)A（0，1），當(dāng)過A點(diǎn)的直線m與曲線y=-

2

x

相切時(shí)，直線m與曲線y=|x+

1

x

|-|x-

1

x

|有四個(gè)公共點(diǎn)，
設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（x₀，y₀），則k=（-

2

x

）′|x=x0=

2

x02

，
∴y₀=-

2

x02

=kx₀+1=

2

x02

•x₀+1，解得；x₀=-4，
∴k=

2

x02

=

1

8

；
同理，當(dāng)直線n與曲線y=

2

x

相切時(shí)，直線n與曲線y=|x+

1

x

|-|x-

1

x

|有四個(gè)公共點(diǎn)，求得直線n的斜率為k′=-

1

8

；
當(dāng)過A點(diǎn)的直線l∥x軸，即其斜率為0時(shí)，直線l與曲線y=|x+

1

x

|-|x-

1

x

|有四個(gè)公共點(diǎn)；
綜上，實(shí)數(shù)k的取值集合是{

1

8

，0，-

1

8

}．
故答案為：{0，-

1

8

，

1

8

}．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了帶絕對(duì)值的函數(shù)，解題時(shí)應(yīng)用分類討論方法去掉絕對(duì)值符號(hào)，通過作圖，找出答案，是較難的題目．