已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)(2,0)，且與直線x＝－2相切.

(1)求動(dòng)圓的圓心軌跡C的方程；

(2)是否存在直線l，使l過點(diǎn)(0,2)，并與軌跡C交于P，Q兩點(diǎn)，且滿足·＝0？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由.

(1)如圖，設(shè)M為動(dòng)圓圓心，F(xiàn)(2,0)，過點(diǎn)M作直線x＝－2的垂線，垂足為N，

由題意知：|MF|＝|MN|，即動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)F與到定直線x＝－2的距離相等，由拋物線的定義知，點(diǎn)M的軌跡為拋物線，其中F(2,0)為焦點(diǎn)，x＝－2為準(zhǔn)線，

所以動(dòng)圓圓心軌跡C的方程為y2＝8x.

(2)由題可設(shè)直線l的方程為x＝k(y－2)(k≠0)，

由，得y2－8ky＋16k＝0，

Δ＝(－8k)2－4×16k＞0，解得k＜0或k＞1.

設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則y1＋y2＝8k，y1y2＝16k，

由·＝0，得x1x2＋y1y2＝0，

即k2(y1－2)(y2－2)＋y1y2＝0，

整理得：(k2＋1)y1y2－2k2(y1＋y2)＋4k2＝0，

代入得16k(k2＋1)－2k2·8k＋4k2＝0，

即16k＋4k2＝0，

解得k＝－4或k＝0(舍去)，

所以直線l存在，其方程為x＋4y－8＝0.

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)（
p
2
，0），且與直線x=-
p
2
相切，其中p＞0．
（Ⅰ）求動(dòng)圓圓心C的軌跡的方程；
（Ⅱ）設(shè)A，B是軌跡C上異于原點(diǎn)O的兩個(gè)不同點(diǎn)，直線OA和OB的傾斜角分別為α和β，當(dāng)α，β變化且α+β為定值θ（0＜θ＜π且θ≠
π
2
）時(shí)，證明直線AB恒過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)A（4，0），且在y軸上截得的弦MN的長(zhǎng)為8．
（1）求動(dòng)圓圓心的軌跡C的方程；
（2）若軌跡C與圓M：（x-5）2+y2=r2（r＞0）相交于A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)，求r的取值范圍；
（3）已知點(diǎn)B（-1，0），設(shè)不垂直于x軸的直線l與軌跡C交于不同的兩點(diǎn)P，Q，若x軸是∠PBQ的角平分線，證明直線l過定點(diǎn)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)P（1，0），且與定直線l：x=-1相切，點(diǎn)C在l上．
（1）求動(dòng)圓圓心的軌跡M的方程；
（2）設(shè)過點(diǎn)P且斜率為-
3
的直線與曲線M相交于A、B兩點(diǎn)，求線段AB的長(zhǎng)；
（3）問：△ABC能否為正三角形？若能，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不能，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)D（1，0），且與直線l：x=-1相切．
（1）求動(dòng)圓圓心M的軌跡C；
（2）過定點(diǎn)D（1，0）作直線l交軌跡C于A、B兩點(diǎn)，E是D點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)，求證：∠AED=∠BED．

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