Question

【題目】已知圓的方程為：．

（1）直線過點(diǎn)，且與圓交于兩點(diǎn)，若，求直線的方程；

（2）圓上有一動(dòng)點(diǎn)，，若向量，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，并說明此軌跡是什么曲線．

Answer 1

【答案】（1）或；（2），軌跡是一個(gè)焦點(diǎn)在軸上的橢圓

【解析】

（1）當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，可驗(yàn)證其滿足題意，得到直線方程為；當(dāng)直線不垂直于軸時(shí)，設(shè)直線為，利用垂徑定理可求得圓心到直線距離，利用點(diǎn)到直線距離公式構(gòu)造方程求得，從而得到直線方程；（2）設(shè)，利用向量坐標(biāo)運(yùn)算可得到，，根據(jù)在圓上，可代入整理得到點(diǎn)軌跡.

（1）當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，此時(shí)直線方程為

與圓的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為和，這兩點(diǎn)的距離為，滿足題意；

當(dāng)直線不垂直于軸時(shí)，設(shè)其方程為：，即：

設(shè)圓心到此直線的距離為，則：，解得：

，解得：

此時(shí)直線方程為：

綜上所述，所求直線方程為：或

（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為

∵，，

∴ ，

∵ ∴，即

∴點(diǎn)的軌跡方程是，軌跡是一個(gè)焦點(diǎn)在軸上的橢圓