已知
a
,
b
是兩個相互垂直的單位向量,|
c
|=13
,
c
a
=3,
c
b
=4
,則對于任意t1、t2∈R,當(dāng)|
c
-t1
a
-t2
b
|
取最小值時,函數(shù)f(x)=t1sinx+t2cosx(0≤x≤
π
2
)
的值域是
[3,5]
[3,5]
分析:將模平方,利用配方法,可得當(dāng)且僅當(dāng)t1=3,t2=4時,|
c
-t1
a
-t2
b
|
取得最小值,再用輔助角公式,即可求得結(jié)論.
解答:解:|
c
-t1
a
-t2
b
|
2=
c
2
+(t1
a
)2+(t2
b
)2
-2
c
a
t1-2
c
b
t2
+2t1t2
a
b

a
,
b
是兩個相互垂直的單位向量,|
c
|=13
,
c
a
=3,
c
b
=4
,
|
c
-t1
a
-t2
b
|
2=169+t12+t22-6t1-8t2=(t1-3)2+(t2-4)2+144
由此可得,當(dāng)且僅當(dāng)t1=3,t2=4時,|
c
-t1
a
-t2
b
|
2最小值為144
f(x)=3sinx+4cosx(0≤x≤
π
2
)

∴f(x)=5sin(x+α),其中cosα=
3
5
,sinα=
4
5

0≤x≤
π
2
,∴3≤5sin(x+α)≤5,
∴函數(shù)的值域是[3,5]
故答案為:[3,5]
點評:本題考查向量模的計算,考查配方法的運(yùn)用,考查三角函數(shù)求值,屬于中檔題.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知∠A、∠B是△ABC的兩個內(nèi)角,向量
m
=(cos
A-B
2
)
i
+(
5
2
sin
A+B
2
)
j
,其中
i
, 
j
為相互垂直的單位向量.若|
m
|=
3
2
4
,證明:tanAtanB=
1
9

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知
a
,
b
是兩個相互垂直的單位向量,而|
c
|=13,
c
a
=3,
c
b
=4,則對于任意實數(shù)t1,t2,則|
c
-t1
a
-t2
b
|的最小值是(  )

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:黃岡重點作業(yè)·高三數(shù)學(xué)(下) 題型:047

如圖,已知a、b是兩條相互垂直的異面直線,其公垂線段AB的長為定值m,定長為n(n>m)的線段PQ的兩個端點分別在a、b上移動,M、N分別是AB、PQ的中點.

(1)求證:AB⊥MN;

(2)求證:MN的長是定值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:湖北省荊州中學(xué)2008高考復(fù)習(xí)立體幾何基礎(chǔ)題題庫一(有詳細(xì)答案)人教版 人教版 題型:047

如圖,已知ab是兩條相互垂直的異面直線,其公垂線段AB的長為定值m,定長為n(nm)的線段PQ的兩個端點分別在a、b上移動,MN分別是AB、PQ的中點.

(1)求證:ABMN

(2)求證:MN的長是定值

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