(2012•寧德模擬)如圖所示,在矩形ABCD中,AB=3
5
,AD=6,BD是對角線,過A作AE⊥BD,垂足為O,交CD于E,以AE為折痕將△ADE向上折起,使點(diǎn)D到點(diǎn)P的位置.且PB=
41

(I)求證:PO⊥平面ABCE;
(n)求二面角E-AP-B的余弦值.
分析:(I)利用線面垂直的判定定理證明線面垂直,關(guān)鍵證明PO⊥OB,PO⊥AE;
(Ⅱ)過O作OH⊥AP于H,連接BH,則BH⊥AP,證明∠OHB為二面角E-AP-B的平面角,從而可求二面角E-AP-B的余弦值.
解答:(I)證明:∵矩形ABCD中,AB=3
5
,AD=6,BD是對角線,∴BD=9
∵AE⊥BD,∴Rt△AOD∽Rt△BAD
DO
AD
=
AD
BD
,∴DO=4,∴BO=5
在Rt△POB中,PB=
41
,PO=4,B0=5,∴PO2+BO2=PB2
∴PO⊥OB,
∵PO⊥AE,AE∩OB=O
∴PO⊥平面ABCE;
(Ⅱ)解:∵OB⊥平面AOP,過O作OH⊥AP于H,連接BH,則BH⊥AP
∴∠OHB為二面角E-AP-B的平面角
∵OB=5,OH=
4
5
3

∴tan∠OHB=
3
5
4
,
∴cos∠OHB=
4
61
61

即二面角E-AP-B的余弦值為
4
61
61
點(diǎn)評:本題考查線面垂直,考查面面角,解題的關(guān)鍵是正確作出面面角,正確運(yùn)用線面垂直的判定定理.
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