Question

選修4-5：不等式選講
已知對(duì)于任意非零實(shí)數(shù)m，不等式|4m-1|+|1-m|≥|m|（|2x-3|-|x-1|）恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍．

Answer 1

分析：分析題目已知不等式|4m-1|+|1-m|≥|m|（|2x-3|-|x-1|）恒成立，可變形為|2x-3|-|x-1|≤

|4m-1|+|1-m|

|m|

恒成立，而

|4m-1|+|1-m|

|m|

≥3．即可得到|2x-3|-|x-1|≤3，分類討論去絕對(duì)值號(hào)即可求得x的取值范圍．

解答：解：∵對(duì)于任意非零實(shí)數(shù)m，不等式|4m-1|+|1-m|≥|m|（|2x-3|-|x-1|）恒成立，
∴|2x-3|-|x-1|≤

|4m-1|+|1-m|

|m|

恒成立，而

|4m-1|+|1-m|

|m|

≥3．
∴只需|2x-3|-|x-1|≤3．
①當(dāng)x≤1時(shí)，|2x-3|-|x-1|=3-2x-（1-x）≤3，即x≥-1，所以-1≤x≤1；
②當(dāng)1＜x＜

3

2

時(shí)，|2x-3|-|x-1|=3-2x-（x-1）≤3，即x≥

1

3

，所以1＜x＜

3

2

；
③當(dāng)x≥

3

2

時(shí)，|2x-3|-|x-1|=2x-3-x+1≤3，即x≤5，所以

3

2

≤x≤5．
綜上所述，x的取值范圍為[-1，5]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查絕對(duì)值不等式的應(yīng)用，求得而

|4m-1|+|1-m|

|m|

≥3是關(guān)鍵，有一定的靈活性，突出考查轉(zhuǎn)化思想與分類討論思想，屬于中檔題．