Question

已知平行于直線2x-y+1=0的直線l與雙曲線

x2

3

-

y2

2

=1交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|=4．
（1）求直線l的方程
（2）求△AOB的面積，O為原點(diǎn)．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由兩直線平行的條件，可得直線l：2x-y+t=0，聯(lián)立雙曲線方程，消去y，得x的二次方程，運(yùn)用判別式大于0，韋達(dá)定理，以及弦長公式，計(jì)算可得t，進(jìn)而得到所求直線方程；
（2）求出原點(diǎn)到直線l的距離d，再由三角形的面積公式計(jì)算即可得到所求值．

解答： 解：（1）設(shè)平行于直線2x-y+1=0的直線l：2x-y+t=0，
聯(lián)立雙曲線方程2x²-3y²=6，
消去y，得10x²+12tx+3t²+6=0，
判別式144t²-40（3t²+6）＞0，解得，t²＞10．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=-

6t

5

，x₁x₂=

3t2+6

10

，
則|AB|=

1+4

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

5

•

36t2 25 - 12t2+24 10

=4，
解得，t²=

70

3

＞10成立，即有t=±

210

3

則直線l的方程為y=2x±

210

3

；
（2）原點(diǎn)到直線l的距離d=

210 3

1+4

=

42

3

，
則△AOB的面積S=

1

2

•d•|AB|=

1

2

×

42

3

×4=

2 42

3

．

點(diǎn)評：本題考查直線方程和雙曲線方程聯(lián)立，消去未知數(shù)，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長公式，考查兩直線的平行的條件及點(diǎn)到直線的距離公式，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．