Question

【題目】如圖，圓O為△ABC的外接圓，D為的中點(diǎn)，BD交AC于E．
（Ⅰ）證明：AD2=DEDB；
（Ⅱ）若AD∥BC，DE=2EB，AD= ， 求圓O的半徑．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）連接OD，OC，
∵D是弧AC的中點(diǎn)，∴∠ABD=∠CBD
∵∠ABD=∠ECD∴∠CBD=∠ECD
∵∠BDA=∠EDA∴△BAD∽△AED
∴，
∴AD2=DEDB．
解：（2）∵D是弧AC的中點(diǎn)，∴OD⊥AC，
∵AD∥BC，DE=2EB，AD=，△BEC∽△AED，∴BC=，
∴∠ACB=∠DAC，∠BDC=∠ADB，
∵∠ADB=∠ACB，∠DAC=∠DBC，∴BE=CE，AE=DE，
延長(zhǎng)DO交AC于F，交圓于G，
設(shè)BE=x，則DE=2x，
∵AD2=DEDB，∴6=2x3x，解得BE=CE=1，DE=AE=2，
∴AF=CF=，DF==，
設(shè)圓半徑為r，則 OC=r，
∴r2=（﹣r）2+（）2 ， 解得r=．
∴圓半徑為．

【解析】（Ⅰ）連接OD，OC，推導(dǎo)出△BAD∽△AED，由此能證明AD2=DEDB．
（2）設(shè)⊙O的半徑為r，推導(dǎo)出△BEC∽△AED，從而求出BE=CE=1，DE=AE=2，由此能求出圓半徑．