Question

已知函數(shù)f（x）=alnx-

1-a

x

（a為常數(shù)）．
（1）若曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線與直線x+y-3=0垂直，求a的值；
（2）討論函數(shù)g（x）=f（x）-x的單調(diào)性．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：計算題,分類討論,導數(shù)的概念及應(yīng)用,導數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出f（x）的導數(shù)，由切線方程可得f′(2)=

a

2

+

1-a

22

=1，解方程即可得到a的值；
（2）求出g（x）的導數(shù)，并分解因式，由g′（x）=0得x=1或x=a-1，對a討論，當a＞2時，當a=2時，當1＜a＜2時，當a≤1時，令導數(shù)大于0，得增區(qū)間，令導數(shù)小于0，得減區(qū)間．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞）f′(x)=

a

x

+

1-a

x2

，
由曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線與直線x+y-3=0垂直，
可得f′(2)=

a

2

+

1-a

22

=1，
解得a=3；
（2）g（x）=f（x）-x=alnx-

1-a

x

-x，
g′（x）=

a

x

-1+

1-a

x2

=

-x2+ax+1-a

x2

=

(x-1)(-x+a-1)

x2

，
由g′（x）=0得x=1或x=a-1，
若a-1＞1即a＞2時，由g′（x）＞0得1＜x＜a-1，
由g′（x）＜0得0＜x＜1或x＞a-1，
則a＞2時，g（x）的增區(qū)間為（1，a-1），減區(qū)間為（0，1），（a-1，+∞）；
若a-1=1即a=2時，g′（x）＜0，即有g(shù)（x）的減區(qū)間為（0，+∞）；
若0＜a-1＜1即1＜a＜2時，可得g（x）的減區(qū)間為（0，a-1），（1，+∞），增區(qū)間為（a-1，1）；
若a-1≤0，即a≤1時，g（x）的增區(qū)間為（0，1），減區(qū)間為（1，+∞）．
綜上可得，當a＞2時，g（x）的增區(qū)間為（1，a-1），減區(qū)間為（0，1），（a-1，+∞）；
當a=2時，g（x）的減區(qū)間為（0，+∞）；
當1＜a＜2時，g（x）的增區(qū)間為（0，a-1），（1，+∞），減區(qū)間為（a-1，1）；
當a≤1時，g（x）的增區(qū)間為（0，1），減區(qū)間為（1，+∞）

點評：本題考查導數(shù)的運用：求切線方程和求單調(diào)區(qū)間，掌握導數(shù)的幾何意義：函數(shù)在某點處的導數(shù)即為曲線在該點處的切線的斜率和分類討論的思想方法是解題的關(guān)鍵．