Question

18．設f（x）定義城為（0，+∞）上的減函數(shù)，且f（$\frac{x}{y}$）=f（x）-f（y）（x，y∈R⁺），f（2）=1．
（1）求證：f（4）=2；
（2）求滿足f（x-1）-f（$\frac{1}{x+6}$）≥3的x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）x=4，y=2，可得f（2）=f（4）-f（2），即可證明結(jié)論；
（2）求出f（8）=f（2）+f（4）=3，f（x-1）-f（$\frac{1}{x+6}$）≥3可化為f[（x-1）（x+6）]≥f（8），利用f（x）為（0，+∞）上的減函數(shù)，可得具體不等式，即可求出滿足f（x-1）-f（$\frac{1}{x+6}$）≥3的x的取值范圍．

解答 （1）證明：∵f（$\frac{x}{y}$）=f（x）-f（y）（x，y∈R⁺），f（2）=1，
∴x=4，y=2，可得f（2）=f（4）-f（2），
∴f（4）=2f（1）=2；
（2）解：令x=8，y=4，可得f（2）=f（8）-f（4），
∴f（8）=f（2）+f（4）=3，
∴f（x-1）-f（$\frac{1}{x+6}$）≥3可化為f[（x-1）（x+6）]≥f（8），
∵f（x）為（0，+∞）上的減函數(shù)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x-1＞0}\\{\frac{1}{x+6}＞0}\\{（x-1）（x+6）≤8}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{x＞1}\\{x＞-6}\\{-7≤x≤2}\end{array}\right.$，
∴解得1＜x≤2．

點評 本題是抽象函數(shù)及其應用類問題．在解答的過程當中充分體現(xiàn)了抽象性、特值的思想以及問題轉(zhuǎn)化的能力．值得同學們體會和反思．