Question

若函數(shù)f（x）=（1-x²）（x²+ax+b）的圖象關(guān)于直線x=-2對稱，則f（x）的最大值為

16

．

Answer 1

分析：由題意得f（-1）=f（-3）=0且f（1）=f（-5）=0，由此求出a=8且b=15，由此可得f（x）=-x⁴-8x³-14x²+8x+15．利用導(dǎo)數(shù)研究f（x）的單調(diào)性，可得f（x）在區(qū)間（-∞，-2-

5

）、（-2，-2+

5

）上是增函數(shù)，在區(qū)間（-2-

5

，-2）、（-2+

5

，+∞）上是減函數(shù)，結(jié)合f（-2-

5

）=f（-2+

5

）=16，即可得到f（x）的最大值．

解答：解：∵函數(shù)f（x）=（1-x²）（x²+ax+b）的圖象關(guān)于直線x=-2對稱，
∴f（-1）=f（-3）=0且f（1）=f（-5）=0，
即[1-（-3）²][（-3）²+a•（-3）+b]=0且[1-（-5）²][（-5）²+a•（-5）+b]=0，
解之得

a=8 b=15

因此，f（x）=（1-x²）（x²+8x+15）=-x⁴-8x³-14x²+8x+15
求導(dǎo)數(shù)，得f'（x）=-4x³-24x²-28x+8
令f'（x）=0，得x₁=-2-

5

，x₂=-2，x₃=-2+

5

當(dāng)x∈（-∞，-2-

5

）時(shí)，f'（x）＞0；當(dāng)x∈（-2-

5

，-2）時(shí)，f'（x）＜0；
當(dāng)x∈（-2，-2+

5

）時(shí)，f'（x）＞0； 當(dāng)x∈（-2+

5

，+∞）時(shí)，f'（x）＜0
∴f（x）在區(qū)間（-∞，-2-

5

）、（-2，-2+

5

）上是增函數(shù)，在區(qū)間（-2-

5

，-2）、（-2+

5

，+∞）上是減函數(shù)
又∵f（-2-

5

）=f（-2+

5

）=16
∴f（x）的最大值為16
故答案為：16

點(diǎn)評：本題給出多項(xiàng)式函數(shù)的圖象關(guān)于x=-2對稱，求函數(shù)的最大值．著重考查了函數(shù)的奇偶性、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最值求法等知識(shí)，屬于中檔題．