Question

如圖，邊長為2的正方形A₁ACC₁繞直線CC₁旋轉90°得到正方形B₁BCC₁，D為CC₁的中點，E為A₁B的中點，G為△ADB的重心．
（1）求直線EG與直線BD所成的角；
（2）求直線A₁B與平面ADB所成的角的正弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）以C為坐標原點，CA，CB，CC₁所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，分別求出直線EG與直線BD的方向向量，代入向量夾角公式，即可求出答案．
（2）分別求出直線A₁B的方向向量與平面ADB的法向量，代入向量夾角公式，即可求出直線A₁B與平面ADB所成的角的正弦值．
解答：解：由題設CC₁⊥AC，CC₁⊥BC，AC⊥BC
所以，以C為坐標原點，CA，CB，CC₁所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系
則C（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），C₁（0，0，2），A₁（2，0，2），B₁（0，2，2），
所以D（0，0，1），E（1，1，1），．（2分）
（1），（4分）
所以，
∴
所以，直線EG與直線BD所成的角為．（5分）
（2）（6分），
設為平面ABD的一個法向量
則，
∴
取．（8分）
設A₁B與平面ADB所成的角為θ
則．
即：A₁B與平面ADB所成的角為正弦值為．（10分）
點評：本題考查的知識點是直線與平面所成的角，異面直線及其所成的角，其中建立空間坐標系，把空間異面直線的夾角問題及直線與平面的夾角問題轉化為向量夾角問題是解答本題的關鍵．