Question

已知F₁、F₂是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1的左、右焦點，O為坐標原點，點P（-1，

2

2

）在橢圓上，線段PF₂與y軸的交點M滿足

PM

+

F2M

=

0

；
（1）求橢圓的標準方程；
（2）⊙O是以F₁F₂為直徑的圓，一直線l：y=kx+m與⊙O相切，并與橢圓交于不同的兩點A、B．當(dāng)

OA

•

OB

=λ且滿足

2

3

≤λ≤

3

4

時，求△AOB面積S的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由已知條件推導(dǎo)出

c=1 1 a2 + 1 2b2 =1 a2=b2+c2

，由此能求出橢圓的標準方程．
（Ⅱ）由圓O與直線l相切，和m²=k²+1，由

x2 2 +y2=1 y=kx+m

，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，由此能求出△AOB面積S的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）∵

PM

+

F2M

=

0

，∴點M是線段PF₂的中點，
∴OM是△PF₁F₂的中位線，
又OM⊥F₁F₂∴PF₁⊥F₁F₂
∴

c=1 1 a2 + 1 2b2 =1 a2=b2+c2

，解得a²=2，b²=1，c²=1，
∴橢圓的標準方程為

x2

2

+y2=1．（5分）
（Ⅱ）∵圓O與直線l相切，∴

|m|

k2+1

=1，即m²=k²+1，
由

x2 2 +y2=1 y=kx+m

，消去y：（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，
∵直線l與橢圓交于兩個不同點，
∴△＞0，∴k²＞0，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=-

4km

1+2  k2

，x1x2=

2m2-2

1+2k2

，
y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）
=k2x1x2+km(x1+x2)+m2
=

m2-2k2

1+2k2

，

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=

1+k2

1+2k2

=λ，
∴

2

3

≤λ≤

3

4

，∴

2

3

≤

1+k2

1+2k2

≤

3

4

，解得：

1

2

≤k2≤1，（8分）
S=S_△AOB=

1

2

|AB|•1
=

1

2

1+k2

•

(- 4km 1+2k2 )-4• 2m2-2 1+2k2

=

2(k4+k2) 4(k4+k2)+1

，
設(shè)μ=k⁴+k²，則

3

4

≤μ≤2，
S=

μ 4μ+1

，μ∈[

3

4

，2]，
∵S關(guān)于μ在[

3

4

，2]上單調(diào)遞增，
S（

3

4

）=

6

4

，S（2）=

2

3

．
∴

6

4

≤S≤

2

3

．（13分）

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查三角形面積的取值范圍的求法，解題時要認真審題，注意橢圓弦長公式的合理運用．