Question

設α，β為銳角，那么“sin²α+sin²β=sin（α+β）”是“α+β=

π

2

”的（　�。�

• A、充分非必要條件
• B、必要非充分條件
• C、充要條件
• D、既不充分也不必要條件

Answer 1

考點：必要條件、充分條件與充要條件的判斷

專題：簡易邏輯

分析：先利用反證法證明“sin²α+sin²β=sin（α+β）”⇒“α+β=

π

2

”成立，再證明“sin²α+sin²β=sin（α+β）”?“α+β=

π

2

”成立，進而根據(jù)充要條件的定義，得到答案．

解答： 解：若α+β＞

π

2

，即α＞

π

2

-β，
則sinα＞sin（

π

2

-β）=cosβ，
則sin²α＞cos²β，
則sin²α+sin²β＞cos²β+sin²β=1≠sin（α+β），
若α+β＜

π

2

，即α＜

π

2

-β，
則cosα＞cos（

π

2

-β）=sinβ，同理cosβ＞sinα，
則sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ＞sin²α+sin²β，
綜上，“sin²α+sin²β=sin（α+β）”時必有“α+β=

π

2

”，
即“sin²α+sin²β=sin（α+β）”是“α+β=

π

2

”充分條件；
當“α+β=

π

2

”時，“sin²α+sin²β=sin（α+β）”顯然成立，
故“sin²α+sin²β=sin（α+β）”是“α+β=

π

2

”必要條件；
故α，β為銳角時，那么“sin²α+sin²β=sin（α+β）”是“α+β=

π

2

”的充要條件；
故選：C

點評：判斷充要條件的方法是：①若p⇒q為真命題且q⇒p為假命題，則命題p是命題q的充分不必要條件；②若p⇒q為假命題且q⇒p為真命題，則命題p是命題q的必要不充分條件；③若p⇒q為真命題且q⇒p為真命題，則命題p是命題q的充要條件；④若p⇒q為假命題且q⇒p為假命題，則命題p是命題q的即不充分也不必要條件．⑤判斷命題p與命題q所表示的范圍，再根據(jù)“誰大誰必要，誰小誰充分”的原則，判斷命題p與命題q的關系．