Question

某公司生產的新產品的成本是2元/件，售價是3元/件，年銷售量為10萬件，為了獲得更好的效益，公司準備拿出一定的資金做廣告，根據經驗，每年投入的廣告費是x（萬元）時，產品的銷售量將是原銷售量的y倍，且y是x的二次函數，它們的關系如下表：

x	…	1	2	…	5	…
y	…	1.5	1.8	…	1.5	…

（1）求y與x的函數關系式；
（2）如果利潤=銷售總額-成本費-廣告費，試寫出年利潤S（萬元）與廣告費x（萬元）的函數關系式；并求出當廣告費x為多少萬元時，年利潤S最大．

Answer 1

分析：（1）設y=a（x-3）²+n，因為圖象過點（1，1.5）和（2，1.8），把這兩個點的坐標代入函數解析式
求出待定系數a、n的值，即可求得y與x的函數關系式．
（2）由題意知：S=10y×（3-2）-x，化簡為-（x-3）²+19，再根據二次函數的性質求得年利潤
S最大時x的值．

解答：解：（1）設y=a（x-3）²+n，因為圖象過點（1，1.5）和（2，1.8），所以

1.5=a(1-3)2+n 1.8=a(2-3)2+n

，
解得a=-0.1，n=1.9，故 y=-0.1×（x-3）²+1.9=-0.1x²+0.6x+1．
（2）由題意知：S=10y×（3-2）-x=10（-0.1x²+0.6x+1）-x=-x²+6x+10
=-（x-3）²+19，
故當x=3時，年利潤S最大為 19 （萬元）；
答：當廣告費x為3萬元時，年利潤S最大．

點評：本題主要考查二次函數的性質，用待定系數法求函數的解析式，屬于基礎題．