Question

已知函數(shù)f（x）=x²+ax+b
（1）若-2≤a≤4，-2≤b≤4（a，b∈Z），求等式f（x）＞0的解集為R的概率；
（2）若|a|≤1，|b|≤1，求方程f（x）=0兩根都為負(fù)數(shù)的概率．

Answer 1

分析：（1）利用乘法原理求出滿足條件的不等式共有7×7=49個(gè)，通過列舉的方法求出足等式f（x）＞0的解集為R的不等式有20個(gè)，利用古典概型的概率公式求出概率．
（2）結(jié)合二次函數(shù)的圖象得到方程f（x）=0兩根都為負(fù)數(shù)滿足的條件，利用幾何概型的概率公式表示出概率，利用定積分求出面積．

解答：解：（1）滿足條件的不等式共有7×7=49個(gè)
不等式解集為R的條件是a²-4b＜0
a=-2時(shí)b=2，3，4
a=-1時(shí)b=1，2，3，4
a=0時(shí)b=1，2，3，4
a=1時(shí)b=1，2，3，4
a=2時(shí)b=2，3，4
a=3時(shí)b=3，4
所以滿足等式f（x）＞0的解集為R的不等式有20個(gè)
故等式f（x）＞0的解集為R的概率是

20

49

（2）方程f（x）=0兩根都為負(fù)的條件是

-a＜0 b＞0 a2-4b≥0

，即

a＞0 b＞0 b≤ 1 4 a2

（*）
點(diǎn)（a，b）組成的區(qū)域面積為4
滿足（*）的區(qū)域面積為

∫

1 0

1

4

a2da=

1

12

所以：方程f（x）=0兩根都為負(fù)的概率P=

1

48

點(diǎn)評(píng)：求一個(gè)事件的概率，應(yīng)該先判斷出事件的概率模型，然后選擇合適的概率公式進(jìn)行計(jì)算．