Question

（本題滿分14分）給定橢圓＞＞0，稱圓心在原點(diǎn)，半徑為的圓是橢圓的“伴隨圓”．若橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，其短軸上的一個(gè)端點(diǎn)到的距離為．

（1）求橢圓的方程及其“伴隨圓”方程；

（2）若傾斜角為的直線與橢圓C只有一個(gè)公共點(diǎn)，且與橢圓的伴隨圓相交于M、N兩

點(diǎn)，求弦MN的長；

（3）點(diǎn)是橢圓的伴隨圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作直線，使得與橢圓都只有一個(gè)公共點(diǎn)，求證：⊥.

 

Answer 1

【答案】

解：（1）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052304165510932888/SYS201205230418037656858021_DA.files/image001.png">，所以，所以橢圓的方程為，

伴隨圓的方程為.                         ……………………………… 4分

（2）設(shè)直線的方程，由得 

由得，圓心到直線的距離為 

所以。                     ……………………………… 8分

（3）①當(dāng)中有一條無斜率時(shí)，不妨設(shè)無斜率，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052304165510932888/SYS201205230418037656858021_DA.files/image014.png">與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，則其方程為或，

當(dāng)方程為時(shí)，此時(shí)與伴隨圓交于點(diǎn)

此時(shí)經(jīng)過點(diǎn)（或且與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的另一條直線是(或，即為(或，顯然直線垂直；    

同理可證方程為時(shí)，直線垂直.           ……………………………… 10分

②當(dāng)都有斜率時(shí)，設(shè)點(diǎn)其中，

設(shè)經(jīng)過點(diǎn)與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線為，

由，消去得到，

即， ，

經(jīng)過化簡(jiǎn)得到：，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052304165510932888/SYS201205230418037656858021_DA.files/image025.png">，所以有，

設(shè)的斜率分別為，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052304165510932888/SYS201205230418037656858021_DA.files/image013.png">與橢圓都只有一個(gè)公共點(diǎn)，

所以是關(guān)于的方程：的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

因而，即⊥.                          ……………………………… 14分

 

【解析】略