Question

【題目】已知橢圓的焦距為2，且過點(diǎn)．

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)為的左焦點(diǎn)，點(diǎn)為直線上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)作的垂線交于兩點(diǎn)，

（ⅰ）證明：平分線段（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)）；

（ⅱ）當(dāng)取最小值時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）（2）（�。┮娊馕觯áⅲ�點(diǎn)的坐標(biāo)為．

【解析】

（1）由題意得，再由的關(guān)系求出，即可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）（i）設(shè)，的中點(diǎn)為，，設(shè)直線的方程為，代入橢圓方程中，運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，結(jié)合三點(diǎn)共線的方法：斜率相等，即可得證；

（ii）利用兩點(diǎn)間的距離公式及弦長公式將表示出來，由換元法的對勾函數(shù)的單調(diào)性，可得取最小值時(shí)的條件獲得等量關(guān)系，從而確定點(diǎn)的坐標(biāo).

解：（1）由題意得， ，所以，

所以橢圓方程為

（2）設(shè)， 的中點(diǎn)為，

（ⅰ）證明：由，可設(shè)直線的方程為，

代入橢圓方程，得，

所以，

所以，則直線的斜率為，

因?yàn)?/span>，所以，

所以三點(diǎn)共線，所以平分線段；

（ii）由兩點(diǎn)間的距離公式得

由弦長公式得

所以，

令，則，由在上遞增，可得，即時(shí)，取得最小值4，

所以當(dāng)取最小值時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為