Question

20．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$sin?x+cosωx（ω＞0）的圖象與x軸交點的橫坐標(biāo)依次構(gòu)成一個公差為$\frac{π}{2}$的等差數(shù)列，把函數(shù)f（x）的圖象沿x軸向左平移$\frac{π}{6}$個單位，得到函數(shù)g（x）的圖象，則（　　）

• A． g（x）是奇函數(shù)
• B． g（x）關(guān)于直線x=-$\frac{π}{4}$對稱
• C． g（x）在[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]上是增函數(shù)
• D． 當(dāng)x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]時，g（x）的值域是[2，1]

Answer 1

分析 將函數(shù)化簡，圖象與x軸交點的橫坐標(biāo)依次構(gòu)成一個公差為$\frac{π}{2}$的等差數(shù)列，可知周期為π，由周期求出ω，向左平移$\frac{π}{6}$個單位可得g（x）的解析式，再利用三角函數(shù)圖象及性質(zhì)，可得結(jié)論．

解答 解：f（x）=$\sqrt{3}$sin?x+cosωx（ω＞0），
化簡得：f（x）=2sin（?x+$\frac{π}{6}$），
∵圖象與x軸交點的橫坐標(biāo)依次構(gòu)成一個公差為$\frac{π}{2}$的等差數(shù)列，可知周期為π
∴T=π=$\frac{2π}{ω}$，解得ω=2．
那么：f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），圖象沿x軸向左平移$\frac{π}{6}$個單位，得：2sin[2（x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{6}$]=2cos2x．
∴g（x）=2cos2x，故g（x）是偶函數(shù)，在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]單調(diào)減函數(shù)．所以A，C不對．
對稱軸方程為x=$\frac{1}{2}kπ$（k=Z），檢驗B不對．
當(dāng)x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]時，那么2x∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$]，g（x）的最大值為1，最小值為-2，故值域為[-2，1]．D正確．
故選：D．

點評 本題考查了三角函數(shù)的輔助角公式的化簡和圖象的平移，三角函數(shù)的性質(zhì)的運用能力．屬于中檔題．