Question

6．已知函數(shù)f（x）=x³+sinx，x∈（-1，1），則滿足f（a²-1）+f（a-1）＞0的a的取值范圍是（　　）

• A． （0，2）
• B． （1，$\sqrt{2}$）
• C． （1，2）
• D． （0，$\sqrt{2}$）

Answer 1

分析 在區(qū)間（-1，1）上，由f（-x）=-f（x）、f′（x）＞0可知函數(shù)f（x）是奇函數(shù)且單調(diào)遞增，由此可求出a的取值范圍，進而選出答案．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=x³+sinx，x∈（-1，1），
則f（-x）=-f（x），∴f（x）在區(qū)間（-1，1）上是奇函數(shù)；
又f′（x）=3x²+cosx＞0，∴f（x）在區(qū)間（-1，1）上單調(diào)遞增；
∵f（a²-1）+f（a-1）＞0，∴-f（a-1）＜f（a²-1），∴f（1-a）＜f（a²-1），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-1＜1-a＜1}\\{-1{＜a}^{2}-1＜1}\\{1-a{＜a}^{2}-1}\end{array}\right.$，求得1＜a＜$\sqrt{2}$，
故選：B．

點評 本題考查了函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，充分理解函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性是解決問題的關(guān)鍵，屬于中檔題．