Question

2．若向量$\overrightarrow a=（\sqrt{3}sinωx，sinωx），\overrightarrow b=（cosωx，sinωx）$，其中ω＞0，記函數(shù)$f（x）=\overrightarrow a•\overrightarrow b-\frac{1}{2}$，若函數(shù)f（x）的圖象相鄰兩條對稱軸之間的距離是$\frac{π}{2}$．
（Ⅰ）求f（x）的表達(dá)式；
（Ⅱ）設(shè)△ABC三內(nèi)角A、B、C的對應(yīng)邊分別為a、b、c，若a+b=3，$c=\sqrt{3}$，f（C）=1，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知利用平面向量數(shù)量積的運算化簡可得函數(shù)解析式f（x）=sin（2ωx-$\frac{π}{6}$），由題意可知其周期為π，利用周期公式可求ω，即可得解函數(shù)解析式．
（Ⅱ）由f（C）=1，得$sin（2C-\frac{π}{6}）=1$，結(jié)合范圍0＜C＜π，可得-$\frac{π}{6}$＜2C-$\frac{π}{6}$＜$\frac{11π}{6}$，解得C=$\frac{π}{3}$，結(jié)合已知由余弦定理得ab的值，由面積公式即可計算得解．

解答 （本題滿分為12分）
解：（Ⅰ）∵$\overrightarrow a=（\sqrt{3}sinωx，sinωx），\overrightarrow b=（cosωx，sinωx）$，
∴$f（x）=\overrightarrow a•\overrightarrow b-\frac{1}{2}=\sqrt{3}sinωxcosωx+{sin^2}ωx-\frac{1}{2}=sin（2ωx-\frac{π}{6}）$，…（4分）
由題意可知其周期為π，
故ω=1，
則f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$），…（6分）
（Ⅱ）由f（C）=1，得$sin（2C-\frac{π}{6}）=1$，
∵0＜C＜π，∴-$\frac{π}{6}$＜2C-$\frac{π}{6}$＜$\frac{11π}{6}$，
∴2C-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，解得C=$\frac{π}{3}$． …（8分）
又∵a+b=3，$c=\sqrt{3}$，由余弦定理得c²=a²+b²-2abcos$\frac{π}{3}$，
∴（a+b）²-3ab=3，即ab=2，
由面積公式得三角形面積為$\frac{1}{2}absinC=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．…（12分）

點評 本題主要考查了平面向量數(shù)量積的運算，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，周期公式，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，余弦定理，三角形面積公式在解三角形中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．