Question

設(shè)點M（x，y）到直線x=4的距離與它到定點（1，0）的距離之比為2，并記點M的軌跡曲線為C．
（I）求曲線C的方程；
（II）設(shè)過定點（0，2）的直線l與曲線C交于不同的兩點E，F(xiàn)，且∠EOF=90°（其中O為坐標(biāo)原點），求直線l的斜率k的值；
（III）設(shè)A（2，0），B（0，）是曲線C的兩個頂點，直線y=mx（x＞0）與線段AB相交于點D，與橢圓相交于E，F(xiàn)兩點，求四邊形AEBF面積的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設(shè)曲線C上的任意一點P（x，y），則有，由此能求出曲線C的方程．
（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為y=kx+2，與橢圓的交點E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），由，得（3+4k²）x²+16kx+4=0，再由根的判別式和l與橢圓交于不同的兩點E，F(xiàn)且∠EOF=90°，得，由此能夠求出直線l的斜率k的值．
（Ⅲ）解方程組得，，S_{四邊形AEBF}=2S_△BOE+2S_△FOA=|BO|•x₁+|AO|•y₁，由此能還應(yīng)出S_{四邊形AEBF}的最大面積．
解答：解：（Ⅰ）設(shè)曲線C上的任意一點P（x，y）
則有化簡得：（4分）
（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為y=kx+2，與橢圓的交點E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂）⇒（3+4k²）x²+16kx+4=0△=（16k）²-16（3+4k²）＞0⇒或，（6分）
因為l與橢圓交于不同的兩點E，F(xiàn)且∠EOF=90°得，x₁x₂+y₁y₂=0x₁x₂+（kx₁+2）（kx₂+2）=0（1+k²）x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4=0
解得：（滿足或）（8分）
（Ⅲ）解方程組得；
即，S_{四邊形AEBF}=2S_△BOE+2S_△FOA=|BO|•x₁+|AO|•y₁（10分）====
因為所以（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）
即S_{四邊形AEBF}的最大面積為（當(dāng)時取等號）（12分）
點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與拋物線的相關(guān)知識，解題時要注意合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化．