Question

14．在數(shù)列{a_n}中，a₁=2，a₂=4，且a_n+1=3a_n-2a_n-1（n≥2），設b_n=log₂${\;}^{（{a}_{n+1}-{a}_{n）}}$
（1）求證：數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列；
（2）求數(shù)列{$\frac{1}{_{{\;}_{n}}_{n+1}}$}的前n項和．

Answer 1

分析 （1）將式子a_n+1=3a_n-2a_n-1右側的a_n移到左側即可得出a_n+1-a_n=2（a_n-a_n-1），代入b_n，利用對數(shù)的運算性質化簡即可得出b_n=1+b_n-1，故而數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列；
（2）由（1）得出{b_n}的通項公式，使用裂項法求和．

解答 解：（1）∵a_n+1=3a_n-2a_n-1，∴a_n+1-a_n=2（a_n-a_n-1），
∴b_n=log₂[2（a_n-a_n-1）]=1+log₂（a_n-a_n-1）=1+b_n-1，
∴b_n-b_n-1=1．
∵b₁=log₂（a₂-a₁）=log₂2=1，
∴數(shù)列{b_n}是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列．
（2）由（1）知b_n=n，
∴$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
設數(shù)列{$\frac{1}{_{{\;}_{n}}_{n+1}}$}的前n項和為T_n，
則T_n=（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$）+…+（$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$）=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．

點評 本題考查了等差關系的判定，裂項法求和，屬于中檔題．