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14.在數(shù)列{an}中,a1=2,a2=4,且an+1=3an-2an-1(n≥2),設bn=log2an+1an
(1)求證:數(shù)列{bn}為等差數(shù)列;
(2)求數(shù)列{\frac{1}{_{{\;}_{n}}_{n+1}}}的前n項和.

分析 (1)將式子an+1=3an-2an-1右側的an移到左側即可得出an+1-an=2(an-an-1),代入bn,利用對數(shù)的運算性質化簡即可得出bn=1+bn-1,故而數(shù)列{bn}為等差數(shù)列;
(2)由(1)得出{bn}的通項公式,使用裂項法求和.

解答 解:(1)∵an+1=3an-2an-1,∴an+1-an=2(an-an-1),
∴bn=log2[2(an-an-1)]=1+log2(an-an-1)=1+bn-1,
∴bn-bn-1=1.
∵b1=log2(a2-a1)=log22=1,
∴數(shù)列{bn}是以1為首項,1為公差的等差數(shù)列.
(2)由(1)知bn=n,
1nn+1=1nn+1=1n1n+1,
設數(shù)列{\frac{1}{_{{\;}_{n}}_{n+1}}}的前n項和為Tn,
則Tn=(1-12)+(1213)+(1314)+…+(1n1n+1)=1-1n+1=nn+1

點評 本題考查了等差關系的判定,裂項法求和,屬于中檔題.

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