Question

17．已知直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2+t\\ y=3+t\end{array}$（t為參數(shù)），以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線c₁的極坐標方程為：ρsin²θ-4cosθ=0（ρ≥0，0≤θ＜2π），曲線C₂的極坐標方程為ρ²（4cos²θ-1）-3=0
（Ⅰ）求直線l與曲線C₁交點的極坐標的極徑；
（Ⅱ）設直線l與曲線C₂交于A，B兩點，求|AB|．

Answer 1

分析 （Ⅰ）直線l的參數(shù)方程化為普通方程，曲線C₁的極坐標方程化為直角坐標方程，直線l與曲線C₁聯(lián)立可得交點的極坐標的極徑；
（Ⅱ）把$\left\{\begin{array}{l}x=2+t\\ y=3+t\end{array}$（t為參數(shù)）代入曲線C₂的普通方程，求出參數(shù)，即可求|AB|．

解答 解：（Ⅰ）直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2+t\\ y=3+t\end{array}$，普通方程為y=x+1，
曲線C₁的極坐標方程為ρsin²θ-4cosθ=0的直角坐標方程為y²=4x，
直線l與曲線C₁聯(lián)立可得（x-1）²=0，
∴x=1，y=2，
∴直線l與曲線C₁的公共點的極徑ρ=$\sqrt{1+4}$=$\sqrt{5}$．
（Ⅱ）曲線C₂的極坐標方程為ρ²（4cos²θ-1）-3=0的普通方程為3x²-y²=3
把$\left\{\begin{array}{l}x=2+t\\ y=3+t\end{array}$（t為參數(shù)）代入3x²-y²=3可得t²+3t=0，∴t=0或-3，
∴|AB|=$\sqrt{1+1}|-3-0|$=3$\sqrt{2}$．

點評 本題考查直線l的參數(shù)方程、曲線的極坐標方程，考查學生的計算能力，屬于中檔題．