Question

5．已知函數f（x）=（x+1）|lnx|．
（I）討論函數f（x）的單調性；
（II）若對于任意的x∈[1，+∞），f（x）≥a（x-1）恒成立，求a的范圍．

Answer 1

分析 （I）通過x≥1與0＜x＜1，化簡函數的表達式，求出函數的導數，判斷導數的符號，推出函數的單調性．
（II）利用x≥1，轉化f（x）≥a（x-1）為（x+1）lnx-a（x-1）≥0，構造函數g（x）=（x+1）lnx-a（x-1），求出函數的導數，利用（I）的結果，推出a的范圍．

解答 解：（I）當$x≥1，f（x）=（{x+1}）lnx，f′（x）=1+\frac{1}{x}+lnx＞0$，
f（x）在（1，+∞）上遞增；------------------------（3分）
$0＜x＜1，f（x）=-（{x+1}）lnx，f′（x）=-（{1+\frac{1}{x}+lnx}）$，$f′′（x）=-（{\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}}）=\frac{1-x}{x^2}＞0$，
f′（x）在（0，1）遞增，f′（x）＜f′（1）=-2＜0，f（x）在（0，1）上遞減
所以f（x）在（0，1）上遞減，在（1，+∞）上遞增．------------------------（6分）
（II）x≥1，f（x）=（x+1）lnx，f（x）≥a（x-1）?（x+1）lnx-a（x-1）≥0
設$g（x）=（{x+1}）lnx-a（{x-1}），g′（x）=1+\frac{1}{x}+lnx-a$
由（I）知，g′（x）在（1，+∞）上遞增，g′（x）≥g′（1）=2-a
若2-a≥0，即a≤2，g′（x）≥0，g（x）在[1，+∞）上遞增，
∴g（x）≥g（1）=0，所以不等式成立---------------------------（9分）
若a＞2，存在x₀∈（1，+∞），使得g′（x₀）=0，當x∈[1，x₀）時，g′（x）＜0，g（x）是減函數，
∴g（x）＜g（1）=0，這與題設矛盾------------（12分）
綜上所述，a≤2．

點評 本題考查函數的導數的綜合應用，函數的單調性的判斷，構造法二次求導，考查轉化思想以及分類討論思想的應用，考查計算能力．