Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x²+alnx，則（　　）

• A、f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[

  - a 2

  ，+∞）
• B、f（x）＞0對(duì)任意x∈（0，+∞）恒成立
• C、f（x）的圖象與x軸至多一個(gè)交點(diǎn)
• D、若f（x）有極值點(diǎn)x₁，則f（x₁）≤1

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：a＞0時(shí)可求f（x）的單調(diào)區(qū)間是（0，+∞），排除A；取a=1，可得f（

1

e

）＜0，排除B；當(dāng)a＜0時(shí)，求出極小值，當(dāng)極小值小于0時(shí)f（x）的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，排除C．

解答： 解：f′（x）=2x+

a

x

=

2x2+a

x

，
當(dāng)a＞0時(shí)，f′（x）＞0恒成立，f（x）在（0，+∞）上恒成立，排除A；
取a=1，f（

1

e

）=

1

e2

+ln

1

e

=

1

e2

-1＜0，排除B；
當(dāng)a＜0時(shí)，f′（x）=

2(x+ - a 2 )(x- - a 2 )

x

，
當(dāng)0＜x＜

- a 2

時(shí)，f′（x）＜0，當(dāng)x＞

- a 2

時(shí)，f′（x）＞0，
∴x=-

- a 2

時(shí)f（x）取得極小值f（-

- a 2

）=-

a

2

+aln(

- a 2

)=-

a

2

+

a

2

ln（-

a

2

），
當(dāng)f（-

- a 2

）＜0，即a＜-2e時(shí)，f（x）的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，排除C；
故選D．

點(diǎn)評(píng)：該題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、單調(diào)性及函數(shù)的零點(diǎn)，考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)解決綜合問(wèn)題的能力．